Question

किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से BC पर डाला गया लम्ब BC को बिंदु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3CD है (देखिए आकृति) सिद्ध कीजिए कि 2AB² = 2AC² + BC² है।

 

Answer 1

दिया है: ∆ABC के शीर्ष से शीर्ष लम्ब AD ⊥ BC खींचा गया है जो BC को बिन्दु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3 CD

DB = ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ BC

तथा CD = ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ BC ….(1)

समकोण ∆ADB में ∠ADB समकोण है

AB² = AD² + BD² …(2) [पाइथागोरस प्रमेय से]

समकोण ∆ADC में, ∆ADC समकोण है

AC² = AD² + CD² …(3) [पाइथागोरस प्रमेय]

AB² – AC² = BD² – CD² [समीकरण (2) – (3) से]

AB² – AC² = (BD + CD) (BD – CD)

= BC${\displaystyle [\frac{3}{4}\text{BC}-\frac{1}{4}\text{BC}]}$ [समीकरण (1) से]

AB² – AC² = ${\displaystyle \text{BC}\times \frac{1}{2}\text{BC}=\frac{1}{2}{\text{BC}}^2}$

2AB² – 2AC² = BC²

2AB² = 2AC² + BC²

इति सिद्धम्