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Question
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x3 - 5x2 - 3x, जहाँ a = 1 और b = 3 है। f‘(c) = 0 के लिए c ∈ (1, 3) को ज्ञात कीजिए।
Solution
दिया है, f(x) = x3 - 5x2 - 3x
[1, 3] में f संतत है और (1, 3) में अवकलनीय है क्योकि यह बहुपदीय है।
f(a) = f(1) = (1)3 - 5(1)2 - 3 x 1
= 1 - 5 - 3 = 1 - 8 = -7
f(b) = f(3) = (3)3 - 5(3)2 - 3 x 3
= 27 - 45 - 9 = - 27
f'(x) = 3x2 - 10x - 3
f'(c) = 3c2 - 10c - 3
f'(c) = `("f"("b") - "f"("a"))/("b - a")`
`=> 3"c"^2 - 10 "c" - 3`
`= (- 27 - (-7))/(3 - 1)`
`= - 20/2`
= - 10
`=>` 3c2 - 10 c - 3 + 10 = 0
`=>` 3c2 - 10 c + 7 = 0
`=>` (c - 1)(3c - 7) = 0
`therefore "c" ne 1, "c" = 7/3 in (1, 3)`
अत: दिया हुआ फलन दिए गए अंतराल में माध्यमान प्रमेय को सत्यापित करता है
यदि f'(c) = 0
तब 3c2 - 10c - 3 = 0
`=>` (3c - 1)(c - 3) = 0
`=> "c" = 1/3, 3`
`=> "c" !in (1, 3)`
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