Advertisements
Advertisements
Question
प्रश्न संख्या 2 में उपरोक्त दिए तीनों फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।
Solution
(i) f(x) = [x], x ∈ [5, 9]
दिये हुए अंतराल (5, 9) में f(x) = [x] बिंदु x = 6, 7, 8 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
माध्यमान प्रमेय लागू नहीं है।
(ii) f(x) = [x], x ∈ [-2, 2 ]
दिये हुए अंतराल [-2, 2] में f बिंदु x = -1, 0, 1 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
माध्यमान प्रमेय लागू नहीं है।
(iii) f(x) = x2 - 1, x ∈ [1, 2]
यह एक बहुपदीय फलन है। यह अंतराल [1,2] में संतत है तथा (1, 2) में अवकलनीय है।
f(a) = f(1) = (1)2 - 1 = 1 - 1 = 0
f(b) = f(2) = (2)2 - 1 = 4 - 1 = 3
f'(x) = 2x `therefore` f'(c) = 2c
f'(c) `= ("f"("b") - "f"("a"))/("b - a")`
`=> 2 "c" = (3 - 0)/(2 - 1) = 3/1 = 3`
चूँकि `"c" = 3/2 in (1, 2)`
अतः माध्यमान प्रमेय सत्यापित होती है।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
फलन f(x) = x² + 2x – 8, x ∈ [-4, 2] के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
यदि f : [-5, 5]→ R एक संतत फलन है और यदि f‘ (x) किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं होता है तो सिद्ध कीजिए कि f(- 5) `ne` f(5).
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अंतराल [a, b] में f(x) = x2 - 4x - 3, जहाँ a = 1 और b = 4 है।
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x3 - 5x2 - 3x, जहाँ a = 1 और b = 3 है। f‘(c) = 0 के लिए c ∈ (1, 3) को ज्ञात कीजिए।
जाँच कीजिए कि रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलन में से किन-किन पर लागू होता है? इन उदाहरण से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?
f(x) = [x] के लिए x ∈ [5, 9]
जाँच कीजिए कि रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलन में से किन-किन पर लागू होता है? इन उदाहरण से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?
f(x) = [x] के लिए x ∈ [-2, 2]
जाँच कीजिए कि रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलन में से किन-किन पर लागू होता है? इन उदाहरण से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?
f(x) = x2 - 1 के लिए x ∈ [1, 2]
यदि y = `e^(a cos^(-1)x)`, -1 ≤ x ≤ 1 है तो दर्शाइए कि `(1 - x^2) (d^2y)/dx^2 - x dy/dx - a^2 y = 0`
