Advertisements
Advertisements
Question
निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):
(x + sec x) (x – tan x)
Solution
मान लीजिए f(x) = (x + sec x) (x tan x)
गुणनफल नियम से,
f'(x) = `(x + sec x) d/dx (x - tan x) + (x - tan x) d/dx (x + sec x)`
= `(x + sec x) [dx/d (x) d/dx tanx] + (x − tan x) [d/dx (x) + d/dx sec x]`
= `(x + secx) [1– d/dx tan x] + (x - tan x) [1 + d/dx sec x]` ...(i)
मान लीजिए f1 (x) = tan x, f2(x) = sec x
इसलिए, f1(x + h) = tan (x + h) और f2(x + h) = sec (x + h)
f'(x) = `lim_(h->0) ((f_1(x + h) - f_1(x))/(h))`
= `lim_(h->0) ((tan(x + h) - tan x)/(h))`
= `lim_(h->0) [(tan(x + h) - tan x)/(h)]`
= `lim_(h->0) [sin (x + h)/cos (x + h) - sin x/cos x]`
= `lim_(h->0) 1/h [(sin (x + h) cos x - sin x cos (x + h))/(cos (x + h) cos x)]`
= `lim_(h->0) 1/h [sin (x + h - x)/(cos (x + h) cos x)]`
= `lim_(h->0) 1/h [sin h/(cos (x + h) cos x)]`
= `(lim_(h->0) (sin h)/h). (lim_(h->0) 1/(cos (x + h) cos x))`
= `1 xx 1/cos^2 x = sec^2 x`
= `d/dx tan x = sec^2 x` ...(ii)
f'2(x) = `lim_(h->0) ((f_2(x + h) - f_2(x))/(h))`
= `lim_(h->0) ((sec(x + h) - sec x)/(h))`
= `lim_(h->0) 1/h [1/(cos (x + h)) - 1/(cos x)]`
= `lim_(h->0) 1/h [(cos x - cos (x + h))/(cos (x + h) cos x)]`
= `1/(cos x). lim_(h->0)1/h [(-2 sin ((x + x + h)/2). sin ((x - x - h)/2))/(cos (x + h))]`
= `1/(cos x). lim_(h->0)1/h [(-2 sin ((2x + h)/2). sin (- h)/2)/(cos (x + h))]`
= `1/(cos x). lim_(h->0) [(sin ((2x + h)/2) {(sin (h/2))/(h/2)})/(cos (x + h))]`
= `sec x. (lim_(h->0)sin((2x + h)/2) {lim_(h->0) sin(h/2)/(h/2)})/(lim_(h->0) cos (x + h))`
= `sec x. (sin x.1)/(cos x)`
`=> d/dx sec x = sec x tan x` ... (iii)
(i), (ii) और (iii) से, हम प्राप्त करते हैं
f'(x) = (x + sec x)(1 − sec2 x) + (x − tan x) (1 + sec x tan x)
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
किसी अचर वास्तविक संख्या a के लिए xn + axn – 1 + a2xn – 2 + …. + an – 1 x + an का अवकलज ज्ञात कीजिए।
किन्हीं अचरों a और b, के लिए, (x – a)(x – b) का अवकलज ज्ञात कीजिए।
किन्हीं अचरों a और b, के लिए, (ax2 + b)2 का अवकलज ज्ञात कीजिए।
किन्हीं अचरों a और b, के लिए, `(x - a)/(x - b)` का अवकलज ज्ञात कीजिए।
निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए।
5 sec x + 4 cos x
प्रथम सिद्धांत से cos x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए।
cosec x
निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए:
3 cot x + 5 cosec x
निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए।
5 sin x – 6 cos x + 7
निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए।
2 tan x – 7 sec x
निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):
(x2 + 1)cos x
निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):
(ax2 + sin x)(p + q cos x)
निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):
(x + cos x)(x – tan x)
निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):
`(4x + 5sin x)/(3x + 7 cos x)`
निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):
`(x^2 cos(π/4))/sin x`
निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):
`x/(1 + tan x)`
निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):
`x/(sin^n x)`
