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Question
सिद्ध कीजिए कि `|("bc" - "a"^2, "ca" - "b"^2, "ab" - "c"^2),("ca" - "b"^2, "ab" - "c"^2, "bc" - "a"^2),("ab" - "c"^2, "bc" - "a"^2, "ca" - "b"^2)|`, a + b + c से विभाजित होता है। इसका भागफल भी ज्ञात कीजिए।
Solution
Δ = `|("bc" - "a"^2, "ca" - "b"^2, "ab" - "c"^2),("ca" - "b"^2, "ab" - "c"^2, "bc" - "a"^2),("ab" - "c"^2, "bc" - "a"^2, "ca" - "b"^2)|`
[C1 → C1 – C2 और C2 → C2 – C3 लागू करना]
Δ = `|("bc" - "a"^2 - "ca" + "b"^2,"ca" - "b"^2 - "ab" + "c"^2, "ab" - "c"^2),("ca" - "b"^2 - "ab" + "c"^2, "ab" - "c"^2 - "bc" + "a"^2, "bc" - "a"^2),("ab" - "c"^2 - "bc" + "a"^2, "bc" - "a"^2 - "ca" + "b"^2, "ca" - "b"^2)|`
= `|(("b" - "a")("a" + "b" + "c"), ("c" - "b")("a" + "b" + "c"), "ab" - "c"^2),(("c" - "b")("a" + "b" + "c"), ("a" - "c")("a" + "b" + "c"), "bc" - "a"^2),(("a" - "c")("a" + "b" + "c"), ("b" - "a")("a" + "b" + "c"), "ca" - "b"^2)|`
[C1 और C2 प्रत्येक से उभयनिष्ठ (a + b + c) लेना]
Δ = `("a" + "b" + "c")^2 |("b" - "a", "c" - "b", "ab" - "c"^2),("c" - "b", "a" - "c", "bc" - "a"^2),("a" - "c", "b" - "a", "ca" - "b"^2)|`
[R1 → R1 + R2 + R3 लागू करना]
Δ = `("a" + "b" + "c")^2 |(0, 0, "ab" + "bc" + "ca" - ("a"^2 + "b"^2 + "c"^2)),("c" - "b", "a" - "c", "bc" - "a"^2),("a" - "c", "b" - "a", "ca" - "b"^2)|`
[R1 के साथ विस्तार करना]
Δ = `("a" + "b" + "c")^2 ["ab" + "bc" + "ca" - ("a"^2 + "b"^2 + "c"^2)][("c" - "b")("b" - "a") - ("a" - "c")^2]`
= `("a" + "b" + "c")^2 ("ab" + "bc" + "ca" - "a"^2 - "b"^2 - "c"^2) xx ("bc" - "ac" - "b"^2 + "ab" - "a"^2 - "c"^2 + 2"ac")`
= (a + b + c)[(a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)2]
अत: दिया गया सारणिक (a + b + c) से विभाज्य है और भागफल (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)2 है।
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यदि `"A" = [(1,1,2),(2,1,3),(5,4,9)],` हो तो `abs "A"` ज्ञात कीजिए।
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यदि x, y ∈ R, तब सारणिक ∆ = `|(cosx, -sinx, 1),(sinx, cosx, 1),(cos(x + y), -sin(x + y), 0)|` किस अंतराल में है।
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सिद्ध कीजिए - `|("a"^2 + 2"a", 2"a" + 1, 1),(2"a" + 1, "a" + 2, 1),(3, 3, 1)| = ("a" - 1)^3`
यदि A + B + C = 0, तो सिद्ध कीजिए कि `|(1, cos"c", cos"B"),(cos"C", 1, cos"A"),(cos"B", cos"A", 1)|` = 0
दर्शाइए कि त्रिभुज ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है यदि सारणिक
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यदि A और B व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं तब निम्न में से कौन सा सत्य नहीं है?
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एक सारणिक A की किसी पंक्ति के अवयवों और उनके संगत सहखंडों के गुणनफल का योग ______ के बराबर होता है।
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`|(0, xyz, x - z),(y - x, 0, y z),(z - x, z - y, 0)|` = ______.
`("aA")^-1 = 1/"a" "A"^-1` जहाँ a एक वास्तविक संख्या है और A एक वर्ग आव्यूह है।
|A–1| ≠ |A|–1, जहाँ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
यदि A और B कोटि 3 के आव्यूह हैं और |A| = 5, |B| = 3, तब |3AB| = 27 × 5 × 3 = 405.
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`|(x + 1, x + 2, x + "a"),(x + 2, x + 3, x + "b"),(x + 3, x + 4, x + "c")|` = 0, जहाँ a, b, c, A.P में है।
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यदि Δ = `|("a", "p", x),("b", "q", y),("c", "r", z)|` = 16, है तब Δ1 = `|("p" + x, "a" + x, "a" + "p"),("q" + y, "b" + y, "b" + "q"),("r" + z, "c" + z, "c" + "r")|` = 32 होगा।
