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Question
सिद्ध कीजिए कि f : [-1, 1] → R, f(x) = `x/((x + 2))` द्वारा प्रदत्त फलन एकैकी है | फलन f : [-1, 1] → (f का परिसर), का प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए |
(संकेत y ∈ परिसर f, के लिए, [-1, 1] के किसी x के अंतर्गत y = f(x) = `x/(x + 2),` अर्थात x = `(2y)/((1 - y)`
Solution
f(x) = f(y) ⇒ `x/(x + 2) = y/(y + 2)`
⇒ xy + 2x = xy + 2y
⇒ 2x = 2y
⇒ x = y
इसलिए, f एक-एक फंक्शन है |
यह स्पष्ट है की f : [-1, 1] → f की रेंज एक फंक्शन पर है |
∴ f : [-1, 1] → f की श्रेणी एक-एक और एक है, इसलिए f का विलोम मौजूद है |
मान लीजिए कि y श्रेणी f का एक मनमाना तत्त्व है |
y = f(x) ....... x ∈ [-1, 1]
y = `x/(x + 2)` ⇒ xy + 2y = x
⇒ x(1 - y) = 2y
⇒ x = `(2y)/(1 - y)` y ≠ 1
g(y) = `(2y)/(1 - y)` और f-1 = g
∴ f-1 = `(2y)/(1 - v)` y ≠ 1
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