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Question
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = `abs (x - 1), x in "R"` पर अवकलित नहीं है।
Solution
कोई भी फलन अवकलित नहीं होगा जब बाएं पक्ष की सीमा तथा दाएं पक्ष की सीमा बराबर नहीं होगी।
f(x) = `abs (x - 1), x in R`
f(x) = (x - 1), यदि x - 1 > 0
= - (x - 1), यदि x -1 < 0
x = 1 पर
f(1) = 1 - 1 = 0
बाएं पक्ष की सीमा
= `lim_(h -> 0^-) (f(1 - h) - f(1))/ -h`
= `lim_(h -> 0^-) (1 - (1 - h) - 0)/ (- h)`
= `lim_(h -> 0^-) (+ h)/(- h)`
= - 1
दाएं पक्ष की सीमा =
= `lim_(h -> 0^+) (f(1 + h) - f(1))/h`
= `lim_(h -> 0^+) ((1 + h) - 1 - 0)/ h`
= `lim_(h -> 0^+) h/h`
= 1
बाएं पक्ष की सीमा तथा दाएं पक्ष की सीमा बराबर नहीं है।
अत: f(x), x = 1 पर अवकलित नहीं है।
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