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Question
सिद्ध कीजिए कि महत्तम पूर्णांक फलन f(x) = [x], 0 < x < 3, x = 1 तथा x = 2 पर अवकलित नहीं है।
Solution
कोई भी फलन अवकलित नहीं होगा जब बाएं पक्ष की सीमा तथा दाएं पक्ष की सीमा बराबर नहीं होगी।
f(x) = [x], 0 < x < 3
(i) x = 1 पर
बाएं पक्ष की सीमा = `lim_(h -> 0) ([1 - h] - [1])/-h`
= `lim_(h -> 0) (0 - 1)/-h`
= `lim_(h -> 0) 1/h`
= अनंत
दाए पक्ष की सीमा
= `lim_(h -> 0) ([1 + h] - [1])/h`
= `lim_(h -> 0) (1 - 1)/h`
= 0
बाएं पक्ष की सीमा तथा दाएं पक्ष की सीमा बराबर नहीं है।
अत: f(x), x = 1 पर अवकलित नहीं है।
(ii) x = 2 पर
बाएं पक्ष की सीमा
= `lim_(h -> 0) (f(2 + h) - f(2))/h`
= `lim_(h -> 0) ([2 + h]-2)/h`
= `lim_(h -> 0) (2 -2)/h`
= 0
दाए पक्ष की सीमा
= `lim_(h -> 0) (f(2 - h) - f (2))/h`
= `lim_(h -> 0) ([2 - h] - [2])/-h`
= `lim_(h -> 0) (1 - 2)/-h`
= अनंत
बाएं पक्ष की सीमा तथा दाएं पक्ष की सीमा बराबर नहीं है।
अत: f(x), x = 2 पर अवकलित नहीं है।
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