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Question
सम्मिश्र संख्या `(1 + 2i)/(1-3i)` का मापांक और कोणांक ज्ञात कीजिए।
Solution
माना
`z = (1 + 2i)/(1 - 3i) = (1 + 2i)/(1 - 3i) xx (1 + 3i)/(1 + 3i)`
= `(1 + 6i^2 + 3i + 2i)/(1 - 9i^2)`
= `(1 - 6 + 5i)/(1 + 9)`
= `(- 5 + 5i)/10 = - 1/2 + 1/2 i`
= `-1/2 + 1/2 i = r (cos θ + i sin θ)`
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,
⇒ r cos θ = - `1/2, r sinθ = 1/2`
वर्ग करके जोड़ने पर,
`r^2 cos^2 θ + r^2 sin^2 θ = (-1/2)^2 + (1/2)^2`
= `1/4 + 1/4 = 1/2`
`r^2 (cos^2 θ + sin^2 θ) = 1/2 "या" r^2 = 1/2 "या" r = 1/sqrt2`
अब cos θ = - ve, sin θ = + ve
⇒ θ दूसरे चतुर्थांश में हैं।
`(r sinθ)/(rcosθ) = tan θ = - (1/2)/(1/2) = - 1 = tan (pi - pi/4)`
= `tan (3pi)/4`
θ = `(3pi)/4`
अतः मापांक = `1/sqrt2, "कोणांक" = (3pi)/4`
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