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Question
यदि z1 और z2 दोनों `z + barz = 2|"z" - 1|`, जहाँ arg`("z"_1 - "z"_2) = pi/4` को संतुष्ट करते हैं, तो Im`(z_1 + z_2)` ज्ञात कीजिए।
Solution
मान लीजिए कि z = x + iy, z1 = x1 + iy1, और z2 = x2 + iy2 हैं।
तब, `z + barz = 2|z - 1|`
⇒ (x + iy) + (x – iy) = `2|x - 1 + "i"y|`
⇒ 2x = 1 + y2 .......(1)
क्योंकि z1 और z2 दोनों (1) को संतुष्ट करते हैं, इसलिए हमें प्राप्त है:
`2x_1 = 1 + y_1^2` और `2x_2 = 1 + y_2^2`
⇒ `2(x_1 - x_2) = (y_1 + y_2)(y_1 - y_2)`
⇒ 2 = `(y_1 + y_2) ((y_1 - y_2)/(x_1 - x_2))` ......(2)
पुनः `z_1 - "z"_2 = (x_1 - x_2) + "i"(y_"i" - y_2)`
अतः tanθ = `(y_1 - y_2)/(x_1 - x_2)`, जहाँ θ = arg `("z"_1 - "z"_2)` है।
⇒ `tan pi/4 = (y_1 - y_2)/(x_1 - x_2)` क्योंकि `theta = pi/4`
अर्थात् `1 = (y_1 - y_2)/(x_1 - x_2)`
अतः (2) से हमें प्राप्त होता है: 2 = y1 + y2, अर्थात् Im(z1 + z2) = 2
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