Advertisements
Advertisements
प्रश्न
AB और AC एक वृत्त की दो बराबर जीवाएँ हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠BAC का समद्विभाजक वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।
उत्तर
दिया गया है - हमारे पास एक वृत्त है जिसका केंद्र O है तथा जीवा AB और AC बराबर हैं। AM, ∠BAC का समद्विभाजक है।
सिद्ध करना है - केन्द्र O, ∠BAC के समद्विभाजक पर स्थित है।
रचना - BM और CM को मिलाइये।
प्रमाण - ΔBAM और ΔCAM में,
AB = AC ...[दिया गया है।]
∠BAM = ∠CAM ...[दिया गया है।]
AM = AM ...[सामान्य]
∴ ΔBAM ≅ ΔCAM ...[SAS सर्वांगसमता द्वारा]
`\implies` BM = CM [C.P.C.T. द्वारा] ...(i)
और ∠BMA = ∠CMA [C.P.C.T. द्वारा] ...(ii)
ΔBOM और ΔCOM में,
BM = CM ...[(i) द्वारा]
OM = OM ...[सामान्य]
∠BMO = ∠CMO ...[(ii) द्वारा]
∴ ΔBOM और ΔCOM ...[SAS सर्वांगसमता द्वारा]
`\implies` ∠BOM = ∠COM [C.P.C.T. द्वारा] ...(iii)
चूँकि, ∠BOM + ∠COM = 180° ...(iv)
∴ (iii) और (iv) से, ∠BOM = ∠COM = 90°
तो, AM जीवा BC का लंबवत समद्विभाजक है।
इस प्रकार, ∠BAC का समद्विभाजक अर्थात् AM, केन्द्र O से होकर जाता है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
आकृति में, केंद्र O वाले एक वृत्त पर तीन बिन्दु A, B और C इस प्रकार हैं कि ∠BOC = 30० तथा ∠AOB = 60० है। यदि चाप ABC के अतिरिक्त वृत्त पर D एक बिंदु है, तो ∠ADC ज्ञात कीजिए।
निम्नलिखित आकृति में, यदि AOB एक व्यास है और ∠ADC = 120° है, तो ∠CAB = 30° है।
यदि एक वृत्त के चाप AXB और CYD सर्वांगसम हैं तो AB और CD का अनुपात ज्ञात कीजिए।
यदि वृत्त की दो जीवाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड वृत्त के केंद्र से होकर जाता है, तो सिद्ध कीजिए कि दोनों जीवाएँ समांतर है।
निम्नलिखित आकृति में, AOB वृत्त का व्यास है तथा C, D और E अर्धवृत्त पर स्थित कोई तीन बिंदु हैं। ∠ACD + ∠BED का मान ज्ञात कीजिए।
निम्नलिखित आकृति में, ∠OAB = 30° और ∠OCB = 57° है। ∠BOC और ∠AOC ज्ञात कीजिए।
यदि ABC किसी वृत्त के अंतर्गत एक समबाहु त्रिभुज है तथा P लघु चाप BC पर स्थित कोई बिंदु है, जो B या C के संपाती नहीं है, तो सिद्ध कीजिए कि PA कोण BPC का समद्विभाजक हैं।
एक वृत्त की दो बराबर AB और CD जीवाएँ बढ़ाने पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि PB = PD है।
AB और AC त्रिज्या r वाले एक वृत्त की दो जीवाएँ इस प्रकार हैं कि AB = 2AC है। यदि p और q क्रमश : केंद्र से AB और AC की दूरियाँ हैं, तो सिद्ध कीजिए कि 4q2 = p2 + 3r2 है।
निम्नलिखित आकृति में, O वृत्त का केंद्र है और ∠BCO = 30° है। x और y ज्ञात कीजिए।
