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प्रश्न
दीर्घवृत्त `x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1` के अंतर्गत उस समद्विबाहु त्रिभुज का महत्तम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष दीर्घ अक्ष का एक सिरा है।
उत्तर
दीर्घवृत्त, `x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1`
माना दीर्घवृत्त पर एक बिन्दु P (a cos θ, b sin θ) है। APP' एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
PP' दीर्घवृत्त के अक्ष AA' को बिन्दु M पर काटती है।
∆APP' का क्षेत्रफल A = `1/2 PP' xx AM`
`= 1/2 (2 b sin theta) xx (a - a cos theta)` ...[∵ PP' = 2 PM = 2b sin θ तथा AM = OA - OM = a - a cos θ]
`= 1/2 ab xx 2 sin theta (1 - cos theta)`
= ab sin θ (a - a cos θ)
= ab (sin θ - sin θ cos θ)
`= "ab"(sin θ - 1/2 * 2 sin θ cos θ)`
`= "ab" (sin theta - 1/2 sin 2 theta)`
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dA)/(d theta) = ab (cos theta - cos 2 theta)`
उच्चतम निम्नतम के लिए, `(dA)/(d theta) = 0`
∴ ab(cos θ - cos 2θ) = 0
⇒ cos 2θ = cos θ
⇒ 2θ = 2π - θ
⇒ θ = `(2pi)/3`
अब, `(d^2A)/(d theta^2) = ab (- sin theta + 2 sin 2 theta)`
`theta = (2pi)/3` पर, `(d^2A)/(d theta^2) = ab (- sin (2pi)/3 + 2 sin (4pi)/3)`
`= "ab" [- (sqrt3/2) + 2 (- sqrt3/2)]`
`= "ab" (- sqrt3/2 - (2sqrt3)/2)`
`= (- 3 sqrt3)/2 ab < 0`
⇒ A अधिकतम है, जब `theta = (2pi)/3 = 120^circ`
A का महत्तम मान = `ab (sin 120^circ - 1/2 sin 240^circ)`
`= ab [sqrt3/2 - 1/2 (- sqrt3/2)]`
`= ab(sqrt3/2 + sqrt3/4)`
`= (3sqrt3)/4`ab
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