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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि `[0, pi/2]` में `y = (4 sin theta)/(2 + cos theta) - theta, theta` का एक वर्धमान फलन है।
उत्तर
दिया गया फलन `y = (4 sin theta)/(2 + cos theta) - theta` तथा अंतराल `[0, pi/2]`
`=> dy/(d theta) = ((2 + cos theta) 4 cos theta - 4 sin theta (- sin theta))/((2 + cos theta)^2) - 1`
`= (8 cos theta + 4 cos^2 + 4 sin^2 theta)/((2 + cos theta)^2) - 1`
`= (8 cos theta + 4 (cos^2 theta + sin^2 theta))/((2 + cos theta)^2) - 1`
`= (8 cos theta + 4)/((2 + cos theta)^2) - 1`
`= (8 c0s theta + 4 - (4 + cos^2 theta + 4 cos theta))/((2 + cos theta)^2)`
`= (4 cos theta - cos^2 theta)/((2 + cos theta)^2)`
`= ((4 - cos theta) cos theta)/((2 + cos theta)^2)`
cos θ > 0 in `[0, pi/2] ; 4 - cos theta > 0 [0, pi/2]`
`(∵ -1 <= cos theta <= 1, if theta in [0, pi/2]),`
`(2 + cos theta)^2 > 0 [0, pi/2]` ...(पूर्ण वर्ग होने के कारण)
= `dy/(d theta) > 0` सभी `theta in [0, pi/2]` के लिए
= y `[0, pi/2]` का एक वर्धमान फलन है।
`therefore y, theta` का एक वर्धमान फलन है।
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