Advertisements
Advertisements
प्रश्न
मान लीजिए [a, b] पर परिभाषित एक फलन f है। इस प्रकार कि सभी x ∈ (a, b) के लिए f' (x) > 0 है तो सिद्ध कीजिए कि (a, b) पर f एक वर्धमान फलन है।
उत्तर
माना, x1, x2, ∈ (a, b) इस प्रकार है कि x1 < x2 ∈ f (x),(a, b) पर अवकलनीय है और [x1, x2] ⊂ (a, b)
∴ f(x), [x1, x2] पर संतत है और (x1, x2) पर अवकलनीय है।
∴ Lagrange माध्यमान प्रमेय के अनुसार,
यहाँ, c ∈ (x1, x2) का अस्तित्व इस प्रकार है कि
`f'(c) = (f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1)` ...(1)
क्योंकि सभी x ∈ (a, b), f'(x) > 0
∴ विशेषतया, f'(c) > 0
अब f'(c) > 0 `=> (f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1) > 0`
⇒ f(x2) - f(x1) > 0 ...[∵ x2 - x1 > 0 जब x1 - x2]
⇒ f(x2) > f(x1)
⇒ f(x1) < f(x2), यदि x1 < x2
क्योंकि, x1, x2, (a, b) में स्वेच्छ बिन्दु है।
∴ x1 < x2
⇒ f(x1) < f(x2) सभी के लिए
x1, x2 ∈ (a, b)
∴ f(x), (a, b) में वर्धमान है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि R पर f(x) = e2x से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें f(x) = 2x2 - 3x से प्रदत्त फलन f
- वर्धमान
- ह्रासमान
अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें f(x) = 2x3 - 3x2 - 36x + 7 से प्रदत्त फलन f
- वर्धमान
- ह्रासमान
सिद्ध कीजिए कि y = log (1 + x) - `(2"x")/(2 + "x"),` x > -1 अपने संपूर्ण प्रांत में में एक वर्धमान फलन है।
x के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए y = [x(x – 2)]2 एक वर्धमान फलन है।
सिद्ध कीजिए कि `[0, pi/2]` में `y = (4 sin theta)/(2 + cos theta) - theta, theta` का एक वर्धमान फलन है।
सिद्ध कीजिए कि लघुगणकीय फलन `(0, infty)` में वर्धमान फलन है।
सिद्ध कीजिए कि (-1,1) में f(x) = x2 - x + 1 से प्रदत्त फलन न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।
अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें निम्नलिखित फलन f वर्धमान या हासमान है:
f(x) = x2 + 2x + 5
अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें निम्नलिखित फलन f वर्धमान या हासमान है:
f(x) = 10 - 6x - 2x2
अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें निम्नलिखित फलन f वर्धमान या ह्रासमान है:
f(x) = 6 - 9x - x2
निम्नलिखित में कौन से फलन `(0, pi/2)` में ह्रासमान है?
- cos x
- cos 2x
- cos 3x
- tan x
निम्नलिखित अंतरालों में से किस अंतराल में f(x) = x100 + sin x - 1 द्वारा प्रदत्त फलन f निरंतर ह्रासमान है?
मान लीजिए [-1, 1] से असंयुक्त एक अंतराल I हो तो सिद्ध कीजिए कि I में f(x) `= "x" + 1/"x"` से प्रदत्त फलन f, वर्धमान है।
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = log sin x, `(0, pi/2)` में वर्धमान और `(pi/2, pi)` में ह्रासमान है।
सिद्ध कीजिए कि R में दिया गया फलन f(x) = x3 - 3x2 + 3x - 100 वर्धमान है।
निम्नलिखित में से किस अंतराल में y = x2 e-x वर्धमान है?
अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर f(x) = `x^3 + 1/x^3, x ne 0` से प्रदत्त फलन (i) वर्धमान, (ii) ह्रासमान है।
दीर्घवृत्त `x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1` के अंतर्गत उस समद्विबाहु त्रिभुज का महत्तम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष दीर्घ अक्ष का एक सिरा है।
एक 10 m त्रिज्या की बेलनाकार टंकी में 314 m3/h की दर से गेहूँ भरा जाता है। भरे गए गेहूँ की गहराई की वृद्धि दर है:
