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Question
मान लीजिए [a, b] पर परिभाषित एक फलन f है। इस प्रकार कि सभी x ∈ (a, b) के लिए f' (x) > 0 है तो सिद्ध कीजिए कि (a, b) पर f एक वर्धमान फलन है।
Solution
माना, x1, x2, ∈ (a, b) इस प्रकार है कि x1 < x2 ∈ f (x),(a, b) पर अवकलनीय है और [x1, x2] ⊂ (a, b)
∴ f(x), [x1, x2] पर संतत है और (x1, x2) पर अवकलनीय है।
∴ Lagrange माध्यमान प्रमेय के अनुसार,
यहाँ, c ∈ (x1, x2) का अस्तित्व इस प्रकार है कि
`f'(c) = (f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1)` ...(1)
क्योंकि सभी x ∈ (a, b), f'(x) > 0
∴ विशेषतया, f'(c) > 0
अब f'(c) > 0 `=> (f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1) > 0`
⇒ f(x2) - f(x1) > 0 ...[∵ x2 - x1 > 0 जब x1 - x2]
⇒ f(x2) > f(x1)
⇒ f(x1) < f(x2), यदि x1 < x2
क्योंकि, x1, x2, (a, b) में स्वेच्छ बिन्दु है।
∴ x1 < x2
⇒ f(x1) < f(x2) सभी के लिए
x1, x2 ∈ (a, b)
∴ f(x), (a, b) में वर्धमान है।
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