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Question
अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर: f(x) = `(4 sin x - 2x - x cos x)/(2 + cos x)` से प्रदत्त फलन (i) वर्धमान, (ii) ह्रासमान है।
Solution
यहाँ,
f(x) = `(4 sin x - 2x - x cos x)/(2 + cos x)`
`= (4 sin x)/(2 + cos x) - x`
∴ f(x) = `((2 + cos x)4 cos x - 4 sin x (- sin x))/(2 + cos x)^2 - 1`
`= (8 cos x + 4 cos^2 x + 4 sin^2 x)/(2 + cos x)^2 - 1`
`= (8 cos x + 4 - (2 + cos x)^2)/(2 + cos x)`
`= (4 cos x - cos^2 x)/((2 + cos x)^2)`
`= (cos x (4 - cos x))/(2 + cos x)^2`
क्योंकि, - 1 ≤ cos x ≤ 1
⇒ 4 - cos x > 0 और (2 + cos x)2 > 0
∴ f(x) > 0 या < 0 जैसे क्रमशः cos x > 0 या cos x < 0
∴ f(x) वर्धमान है जब 0 < x < `pi/2, (3pi)/2 < x < 2 pi`
और f(x) ह्रासमान है जब `pi/2 < pi < (3pi)/2`.
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