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Question
x के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए y = [x(x – 2)]2 एक वर्धमान फलन है।
Solution
ज्ञात है- y = [x (x – 2)]² = x² (x + 4 – 4x)
= x4 – 4x3 + 4x2
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`dy/dx` = 4x2 - 12x2 + 8x
= 4x (x2 - 3x + 2)
= 4x ( x - 1) (x - 2)
`dy/dx` = 0 `=>` 4x ( x - 1) (x - 2) = 0
`therefore` x = 0, 1, 2
∴ x = 0, x = 1, x = 2 से वास्तविक संख्या रेखा के चार भाग अंतराल (`- infty`, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 2) बनते हैं।
अंतराल (`- infty`, 0) में f'(x) = (-) (-) (-) = – ve (ऋणात्मक)
अतः फलन f निरंतर ह्रासमान है।
अंतराल (0, 1) में f'(x) = (+) (-) (-) = + ve (धनात्मक)
अतः फलन f निरंतर वर्धमान है।
अंतराल (1, 2) में f'(x) = (+) (+) (-) = – ve (ऋणात्मक)
अतः फलन f निरंतर ह्रासमान है।
अंतराल (2, `infty`) में f'(x) = (+) (+) (+) = +ve (धनात्मक)
अतः फलन f निरंतर वर्धमान है।
इस प्रकार (0, 1) `cup` (2, `infty`) में फलन f वर्धमान है तथा (`- infty`, 0) `cup` (1, 2) में फलन ह्रासमान है।
| अंतराल | (∞, 0) | (0, 1) | (1, 2) | (2, ∞) |
| X का चिन्ह | -ve | +ve | +ve | +ve |
| (x - 1) का चिह्न | -ve | - ve | +ve | +ve |
| (x - 2) का चिह्न | -ve | - ve | -ve | +ve |
| `dy/dx` का चिह्न | -ve | +ve | -ve | +ve |
| फलन की प्रकृति | ह्रासमान | वर्धमान | ह्रासमान | वर्धमान |
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