Advertisements
Advertisements
प्रश्न
एक धनात्मक पूर्णांक 3q + 1 के रूप का है, जहाँ q एक प्राकृत संख्या है। क्या इसके वर्ग को 3m + 1 से भिन्न रूप में, अर्थात् 3m या 3m + 2 के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ m कोई पूर्णांक है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
उत्तर
यूक्लिड लेमा के अनुसार, b = aq + r, 0 ≤ r < a
3m + 2 के साथ aq + r कि तुलना करे तो, a = 3 और 0 ≤ r < 3
इसका मतलब की r = 0, 1 और 2 है।
इसलिए 3q + r जहाँ 0 ≤ r < 3 है।
r = 0 के लिए,
3q + 0 = 3q
r = 1 के लिए,
(3q + 1)2 = 9q2 + 6q + 1
= 3(3q2 + 2q) + 1
= 3m + 1
जहाँ, m = 3q2 + 2q
r = 2 के लिए,
(3q + 2)2 = 9q2 + 12q + 4
= 9q2 + 12q + 3 + 1
= 3(3q2 + 4q + 1) + 1
= 3m + 1
जहाँ, m = 3q2 + 4q + 1
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए:
135 और 225
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।
क्या प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक 4q + 2 के रूप का हो सकता है, जहाँ q एक पूर्णाक है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
“दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 2 से विभाज्य है। " क्या यह कथन सत्य है या असत्य? कारण दीजिए।
दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक q के लिए, 5q + 2 या 5q + 3 के रूप का नहीं हो सकता।
दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए, 6m + 2 या 6m + 5 के रूप का नहीं हो सकता।
यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करते हुए, ऐसी सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे 1251, 9377 और 15628 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 1, 2 और 3 प्राप्त हो।
दर्शाइए कि 6q + r के रूप के एक धनात्मक पूर्णांक का घन भी, जहाँ q एक पूर्णांक है तथा r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 हैं, 6m + r के रूप का होता है। जहाँ m एक पूर्णांक है।
सिद्ध कीजिए कि n, n + 2 और n + 4 में से एक और केवल एक ही 3 से विभाज्य है, जहाँ n कोई धनात्मक पूर्णांक है।
सिद्ध कीजिए कि किन्हीं तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों में से एक पूर्णांक 3 से अवश्य ही विभाज्य होना चाहिए।
