Question

Find the value of x³ + x² − x + 22, if x = `5/(1 - 2"i")`

Answer 1

x = `5/(1 - 2"i")`

= `5/(1 - 2"i") xx (1 + 2"i")/(1 + 2"i") = (5(1 + 2"i"))/(1 - 4"i"^2)`

= `(5(1 + 2"i"))/(1 - 4(-1))`    ...[∵ i² = – 1]

= `(5(1 + 2"i"))/5`

∴ x = 1 + 2i

∴ x – 1 = 2i

∴ (x – 1)² = 4i²

∴ x² – 2x + 1 = 4(– 1)    ...[∵ i² = – 1]

∴ x² – 2x + 1 = – 4

∴ x² – 2x + 5 = 0   ...(i)

                       x + 3
`x^2 - 2x + 5")"overline( x^3 + x^2 - x + 22`
                      x³ – 2x² + 5x
                    –     +       –               
                           3x² – 6x + 22
                           3x² – 6x + 15
                         –      +      –           
                                             7

Dividend = Divisor x Quotient + Remainder

∴  x³ + x² – x + 22 = (x² – 2x + 5)(x + 3) + 7

= 0(x + 3) + 7   ...[From (i)]

= 0 + 7

= 7