Question

खालील आकृती मध्ये रेख DE || रेख GF आहे. किरण EG व किरण FG हे अनुक्रमे ∠DEF व ∠DFM या कोनांचे दुभाजक आहेत. तर सिद्ध करा की,

1. ∠DEG = `1/2∠"EDF"`
2. EF = FG

Answer 1

(i) ∠DEG = ∠FEG = x° ...(i) [किरण EG हा ∠DEF चा दुभाजक आहे.]

∠GFD = ∠GFM = y° ...(ii) [किरण FG हा ∠DFM चा दुभाजक आहे.]

रेख DE || रेख GF व DF ही त्यांची छेदिका आहे.

∴ ∠EDF = ∠GFD     ...(व्युत्क्रम कोन)

∴ ∠EDF = y°    ...(iii) [(ii) वरून] 

रेख DE || रेख GF व EM ही त्यांची छेदिका आहे.

∴ ∠DEF = ∠GFM    ...(संगत कोन)

∴ ∠DEG + ∠FEG = ∠GFM    ...(कोनांचा योग)

∴ x° + x° = y° ...[(i) व (ii) वरून]

∴ 2x° = y°

∴ x° = `1/2`y°

∴ ∠DEG = `1/2`∠EDF     ...[(i) व (iii) वरून]

(ii) रेख DE || रेख GF व GE ही त्यांची छेदिका आहे.

∴ ∠DEG = ∠FGE    ...(iv)...(व्युत्क्रम कोन)

∴ ∠FEG = x° ...(v)[(i) व (iv) वरून]

∴ ∆FEG मध्ये,

∠FEG = ∠FGE   ...[(v) वरून]

∴ EF = FG    ...(समद्‌विभुज त्रिकोणाच्या प्रमेयाचा व्यत्यास)