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प्रश्न
किसी गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योग 56 है। यदि हम क्रम से इन संख्याओं में से 1, 7, 21 घटाएँ तो हमें एक समांतर श्रेणी प्राप्त होती है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
उत्तर
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी की तीन संख्याएँ a, ar, ar2 हैं।
तीनों पदों का योग = a + ar + ar2 = 56 …......(i)
इन संख्याओं में से 1, 7, 21 घटाने पर संख्याएँ
ar – 1, ar – 7, ar2 – 21 समांतर श्रेणी में हैं।
∴ 2(ar – 7) = (a – 1) + (ar2 – 21)
या 2ar – 14 = ar2 + a – 22
ar2 – 2ar + a = 22 – 14 = 8 ….........(ii)
समीकरण (i) को (ii) से भाग देने पर
= `("a"(1 + "r" + "r"^2))/("a"(1 - 2"r" + "r"^2)) = 58/8 = 7`
या 7(1 – 2r + r2) = 1 + r + r2
6r2 – 15r + 6 = 0
2r2 – 5r + 2 = 0
या (r – 2) (2r – 1) = 0 या r = 2, `1/2`
समीकरण (i) में r = 2 रखने पर,
a(1 + 2 + 4) = 56 या a = `56/7 = 8`
इस प्रकार तीन संख्याएँ हैं: 8, 16, 32
पुन: समीकरण (i) में r = `1/2` रखने से,
`"a" (1 + 1/2 + 1/4) = 56`
`"a" = (56 xx 4)/7 = 32`
∴ तीन संख्याएँ 32, 16, 8
अतः अभीष्ट संख्याएँ 8, 16, 32 हैं।
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