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प्रश्न
निम्नलिखित प्रतिबंधों के अंतर्गत समतलों का सदिश एवं कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो:
बिंदु (1, 0, −2) से जाता हो और `hat"i" + hat"j" - hat"k"` समतल पर अभिलंब है।
उत्तर
सदिश समीकरण
सदिश रूप में समीकरण
`(vec"r" - vec"a").vec"n" = 0`
यहाँ `vec"a" = (1, 0, -2)`
= `vec"i" - 2hat"k"`
तथा `vec"n" = hat"i" + hat"j" − hat"k"`
समतल का समीकरण
`[vec"r" - (hat"i" - 2hat"k")]. (hat"i" + hat"j" − hat"k") = 0`
कार्तीय समीकरण
समतल का समीकरण जो (x1, y1, z1) से गुजरता है और लंब के दिक्-अनुपात a, b, c हैं।
a(x − x1) + b(y − y1) + c(z − z1) = 0
यहाँ समतल बिंदु (1, 0, −2) से गुजरता है और लंब के दिक्- अनुपात (1, 1, −1) हैं।
अर्थात् x1 = 1, y1 = 0, z1 = −2
a = 1, b = 1, c = −1
समतल का समीकरण
1.(x − 1) + 1.(y − 0) + (−1)(z + 2) = 0
या x − 1 + y − z − 2 = 0
या x + y − z = 3
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