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प्रश्न
यदि एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोणों के समद्विभाजक इस चतुर्भुज के परिगत वृत्त को P और Q, बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि PQ इस वृत्त का व्यास है।
उत्तर
दिया गया है - ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
DP और QB क्रमश : ∠D और ∠B के समद्विभाजक हैं।
सिद्ध करना है - PQ एक वृत्त का व्यास है।
रचना - QD और QC को मिलाइए।
उपपत्ति - चूँकि, ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
∴ ∠CDA + ∠CBA = 180° ...[चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° है।]
दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर, हम पाते हैं।
`1/2 ∠CDA + 1/2 ∠CBA = 1/2 xx 180^circ = 90^circ`
⇒ ∠1 + ∠2 = 90° ...(i) `[∠1 = 1/2 ∠CDA और ∠2 = 1/2 ∠CBA]`
लेकिन ∠2 = ∠3 [समान वृत्तखंड QC में कोण बराबर होते हैं।] ...(ii)
∠1 + ∠3 = 90°
समीकरण (i) और (ii) से,
∠PDQ = 90°
इसलिए, PQ एक वृत्त का व्यास है, क्योंकि वृत्त का व्यास है।
परिधि पर समकोण बनाता है।
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