Question

निम्नलिखित आकृति में, AB और CD एक वृत्त की दो जीवाएँ हैं, जो E पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि AEC = `1/2` (चाप CXA द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण + चाप DYB द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण) है।

Answer 1

दिया गया है - एक आकृति में, दो जीवाएँ AB और CD परस्पर बिंदु E पर प्रतिच्छेद करती हैं। 

साबित करने के लिए - ∠AEC = `1/2`  ...[चाप C × A द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण + चाप DYB द्वारा केंद्र में बनाया गया कोण]

रचना - वृत्त पर बिंदुओं l और H पर DO और BQ रेखाओं का विस्तार करें। एसी भी ज्वाइन करें।

उपपत्ति - हम जानते हैं कि, एक वृत्त में, एक चाप द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण, वृत्त के शेष भाग पर बनाए गए कोण का दुगुना होता है।

∴ ∠1 = 2∠6  ...(i)

और ∠3 = 2∠7   ...(ii)

ΔAOC में, OC = OA  ...[दोनों वृत्त की त्रिज्या हैं।]

∠OCA = ∠4   ...[समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]

साथ ही, ∠AOC + ∠OCA + ∠4 = 180°  ...[त्रिभुज के कोण योग गुण से]

⇒ ∠AOC + ∠4 + ∠4 = 180°

⇒ ∠AOC = 180° – 2∠4 ...(iii)

अब, ΔAEC में, ∠AEC + ∠ECA + ∠CAE = 180°  ...[त्रिकोण के कोण गुण योग के अनुसार]

⇒ ∠AEC = 180° – (∠ECA + ∠CAE) 

⇒ ∠AEC = 180° – [(∠ECO + ∠OCA) + ∠CAO + ∠OAE]

= 180° – (∠6 + ∠4 + ∠4 + ∠5)  ...[∠OCD में, ∠6 = ∠ECO बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]

= 180° – (2∠4 + ∠5 + ∠6)

= 180° – (180° – ∠AOC + ∠7 + ∠6)   ...[समीकरण (iii) से और ΔAOB में, ∠5 = ∠7, क्योंकि (समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।)]

= `∠AOC - (∠3)/2 - (∠1)/2`  ...[समीकरण (i) और (ii) से]

= `∠AOC - (∠1)/2 - (∠2)/2 - (∠3)/2 + (∠2)/2`  ...`["जोड़ना और घटाना" (∠2)/2]`

= `∠AOC - 1/2 (∠1 + ∠2 + ∠3) + (∠8)/2`  ...[∵ ∠2 = ∠8 शीर्षाभिमुख कोण]

= `∠AOC - (∠AOC)/2 + (∠DOB)/2`

⇒ `∠AEC = 1/2 (∠AOC + ∠DOB)`

= `1/2`  ...[चाप CXA द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण + चाप DYB द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण]