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प्रश्न
यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम p, q, r पदों का योगफल क्रमशः a, b, तथा c, हो तो सिद्ध कीजिए कि: `"a"/"p"("q" - "r") + "b"/"q"("r" - "p") + "c"/"r"("p" - "q") = 0`
उत्तर
p पदों का योगफल = `"p"/2[2"a" + ("p" - 1)d] = "a"`
`2"a" + ("p" - 1)"d" = (2"a")/"p"` ............(i)
q पदों का योगफल = `"q"/2[2"a" + ("q" - 1)"d"] = b`
`2"a"("q" - 1)"d" = (2"b")/"q"` ...............(ii)
r पदों का योगफल = `"r"/2[2"a" + ("r" - 1)"d"] = "c"`
∴ `2"a" + ("r" - 1)"d" = (2"c")/"r"` ............(iii)
समीकरण (i) को q − r से, समीकरण (ii) को (r − p) से, समीकरण (i) को (p − q) से गुणा करके जोड़ने पर
[2a + (p − 1)d](q − r) + [2a + (q − 1)d](r − p) + [2a + (r − 1)d](p − q)
= `(2"a")/"p" ("q" - "r") + (2"b")/"q"("r" - "p") + (2"c")/"r"("p" - "q")`
⇒ `(2"a")/"p" ("q" - "r") + (2"b")/"q"("r" - "p") + (2"c")/"r"("p" - "q")`
= 2a[q − r + r − p + p − q] + d[(p − 1)(q − r)] + (q − 1)(r − p) + (r − 1)(p − q)]
= 0 + d [p(q − r) + q(r − p) + r(p − q) −q − r + −p + p −q]
= d [pq − pr + qr − pq + pr − qr]
= 0
2 से भाग देने पर
`"a"/"p" ("q" - "r") + "b"/"q" ("r" - "p") + "c"/"r" ("p" - "q") = 0`
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