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प्रश्न
ABC और DBC एक ही आधार BC पर स्थित दो त्रिभुज इस प्रकार हैं कि बिंदु A और D आधार BC के विपरीत ओर स्थित हैं, AB = AC और DB = DC है। दर्शाइए कि AD रेखाखंड BC का लंब समद्विभाजक है।
उत्तर
प्रश्न में दिया गया है, ABC और DBC एक ही आधार BC पर स्थित दो त्रिभुज इस प्रकार हैं कि A और D, BC के विपरीत भुजाओं पर स्थित हैं, AB = AC और DB = DC है।
यह सिद्ध करने के लिए कि AD, BC का लम्ब समद्विभाजक है, अर्थात OB = OC है।
उपपत्ति - त्रिभुज BAD और त्रिभुज CAD में,
AB = AC ...[दिया गया है।]
BD = CD ...[दिया गया है।]
AD = AD ...[सामान्य पक्ष]
अब, सर्वांगसमता की SSS कसौटी से,
ΔBAD ≅ ΔCAD
इसलिए, ∠1 = ∠2 ...[CPCT]
अब, त्रिभुज BAO और त्रिभुज CAO में,
AB = AC ...[दिया गया है।]
∠1 = ∠2 ...[ऊपर सिद्ध]
AO = AO ...[सामान्य पक्ष]
इसलिए, सर्वांगसमता की SAS कसौटी से,
ΔBAO ≅ ΔCAO
चूंकि, BO = CO ...[CPCT]
और ∠3 = ∠4 ...[CPCT]
∠3 + ∠4 = 180° ...[रैखिक युग्म अभिगृहीत]
∠3 + ∠3 = 180°
2∠3 = 180°
∠3 = `(180^circ)/2`
∠3 = 90°
इसलिए, AD, BC के समद्विभाजक के लंबवत है।
अतः सिद्ध हुआ।
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संबंधित प्रश्न
एक रेखाखंड AB पर AD और BC दो बराबर लंब रेखाखंड हैं (देखिए आकृति)। दशाईए कि CD, रेखाखंड AB को समद्विभाजित करता है।
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“यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ और एक कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और एक कोण के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज अवश्य ही सर्वांगसम होने चाहिए।” क्या यह कथन सत्य है? क्यों?
AB = AC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज के कोणों B और C के समद्विभाजक परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। BO को एक बिंदु M तक बढ़ाया जाता है। सिद्ध कीजिए कि ∠MOC = ∠ABC है।
एक समबाहु त्रिभुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।
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∆ABD और ∆ACD में,
AB = AC (दिया है)
∠B = ∠C (क्योंकि AB = AC)
तथा ∠ADB = ∠ADC (प्रत्येक 90°)
अतः, ∆ABD ≅ ∆ACD (AAS)
इसलिए, ∠BAD = ∠CAD (CPCT)
उपरोक्त तर्कणों में क्या कमी है?
[संकेत : याद कीजिए कि जब AB = AC हो, तो ∠B = ∠C को कैसे सिद्ध किया जाता है।]
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ABCD एक चतुर्भुज इस प्रकार है कि विकर्ण AC दोनों कोणों A और C का समद्विभाजक है। सिद्ध कीजिए कि AB = AD और CB = CD है।
