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प्रश्न
O एक वर्ग ABCD के अभ्यंतर में स्थित बिंदु इस प्रकार है कि OAB एक समबाहु त्रिभुज है। सिद्ध कीजिए कि ∆OCD एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
उत्तर
दिया गया है - वर्ग ABCD के अभ्यंतर में O एक बिंदु इस प्रकार है कि ΔOAB एक समबाहु त्रिभुज है।
रचना - OC और OD को मिलाइए।
दर्शाना है - ΔOCD एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
उपपत्ति - चूँकि, AOB एक समबाहु त्रिभुज है।
∴ ∠OAB = ∠OBA = 60° ...(i)
साथ ही, ∠DAB = ∠CBA = 90° ...(ii) [वर्ग का प्रत्येक कोण 90° है] [∵ ABCD एक वर्ग है।]
समीकरण (i) को समीकरण (ii) से घटाने पर, हम पाते हैं।
∠DAB – ∠OAB = ∠CBA – ∠OBA = 90° – 60°
यानी ∠DAO = ∠CBO = 30°
ΔAOD और ΔBOC में,
AO = BO ...[दिया गया है।] [समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।]
∠DAO = ∠CBO ...[ऊपर सिद्ध]
और AD = BC ...[एक वर्ग की भुजाएँ बराबर होती हैं।]
∴ ΔAOD ≅ ΔBOC ...[SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]
अत:, OD = OC ...[CPCT द्वारा]
ΔCOD में,
OC = OD
अत:, ΔCOD एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
अतः सिद्ध हुआ।
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