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प्रश्न
यदि `(2z + 1)/(iz + 1)` का काल्पनिक भाग –2 है, तो दर्शाइए कि z को आर्गंड तल में निरूपित करने वाले बिंदु का बिंदु पथ एक सरल रेखा है।
उत्तर
मान लीजिए कि z = x + iy तब,
`(2z + 1)/(iz + 1) = (2(x + iy) + 1)/(i(x + iy) + 1)`
= `((2x + 1) + i2y)/((1 - y) + ix)`
= `({(2x + 1) + i2y})/({(1 - y) + ix}) xx ({(1 - y) - ix})/({(1 - y) - ix})`
= `((2x + 1 - y) + i(2y - 2y^2 - 2x^2 - x))/(1 + y^2 - 2y + x^2)`
इस प्रकार, `"Im"((2z + 1)/(iz + 1)) = (2y - 2y^2 - 2x^2 - x)/(1 + y^2 - 2y + x^2)`
परंतु, `"Im"((2z + 1)/(iz + 1))` = –2 .....(दिया है)
अतः, `(2y - 2y^2 - 2x^2 - x)/(1 + y^2 - 2y + x^2)` = –2
⇒ 2y – 2y2 – 2x2 – x = –2 – 2y2 + 4y – 2x2
अर्थात्, x + 2y – 2 = 0, जो एक सरल रेखा का समीकरण है।
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