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प्रश्न
यदि z1 और z2 दो ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं ताकि |z1| = |z2| और arg(z1) + arg(z2) = π, तो दर्शाइए कि z1 = `-barz_2`
उत्तर
मानो z1 = r1(cosθ1 + isinθ1)
और z2 = r2(cosθ2 + isinθ2) दो जटिल संख्याओं z1 और z2 के ध्रुवीय रूप हैं।
दिया गया है की, |z1| = |z2|
⇒ r1 = r2 ......(i)
और arg(z1) + arg(z2) = π
⇒ θ1 + θ2 = π
⇒ θ1 = π – θ2
आता z1 = r1[cos(π – θ2) + isin(π – θ2)]
⇒ z1 = r1[–cosθ2 + isinθ2]
⇒ z1 = –r1(cosθ2 – isinθ2) ......(i)
z2 = r2[cosθ2 + isinθ2]
`barz_2` = r1[cosθ2 – isinθ2] ......[∵ r1 = r2] .....(ii)
समीकरण (i) और (ii) से हमें मिलता है,
z1 = `-barz_2`
यह साबित होता है कि z1 = `-barz_2`
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