Advertisements
Advertisements
प्रश्न
यदि सम्मिश्र संख्या z1 और z2 के लिए, arg(z1) − arg(z2) = 0, तब दर्शाइए कि `|z_1 - z_2| = |z_1| - |z_2|`
उत्तर
`z_1 = |z_1|(costheta_1 + isintheta_1)` और `z_2 = |z_2|(costheta_2 + isintheta_2)`,
⇒ arg(z1) = θ1 और arg(z2) = θ2
पता है की, arg(z1) - arg(z2) = 0
⇒ θ1 - θ2 = 0
⇒ θ1 = θ2
`z_2 = |z_2|(costheta_1 + isintheta_1)` [∵ θ1 = θ2]
इसलिए, `z_1 - z_2 = (|z_1|costheta_1 - |z_2|sintheta_1) + i(|z_1|costheta_1 - |z_2|sintheta_1)`
⇒ `|z_1 - z_2| = sqrt((|z_1|costheta_1 - |z_2|sintheta_1)^2 + (|z_1|sintheta_1 - |z_2|sintheta_1)^2)`
= `sqrt(|z_1|^2 + |z_2|^2 - 2|z_1||z_1|cos^2theta_1 - 2|z_1||z_2|sin^2theta_1)`
= `sqrt(|z_1|^2 + |z_2|^2 - 2|z_1||z_2|[cos^2theta_1 + sin^2theta_1])`
= `sqrt(|z_1|^2 + |z_2|^2 - 2|z_1||z_2|)`
= `sqrt((|z_1| - |z_2|)^2)`
⇒ |z1 - z2| = |z1| - |z2|
इसलिए, यह सिद्ध होता है कि ∣z1 - z2∣ = ∣z1∣-∣z2∣
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक को ध्रुवीय रूप में रूपांतरित कीजिए:
-1 – i
सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक को ध्रुवीय रूप में रूपांतरित कीजिए
-3
सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक को ध्रुवीय रूप में रूपांतरित कीजिए:
`sqrt3 + i`
यदि `(2z + 1)/(iz + 1)` का काल्पनिक भाग –2 है, तो दर्शाइए कि z को आर्गंड तल में निरूपित करने वाले बिंदु का बिंदु पथ एक सरल रेखा है।
मान लीजिए कि z1 और z2 दो सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार है कि `barz_1 + ibarz_2` = 0 है तथा arg (z1 z2) = π, तब arg (z1) ज्ञात कीजिए।
मान लीजिए कि z1 और z2 दो सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि |z1 + x2| = |z1| + |z2| तब दर्शाइए कि arg(z1) – arg(z2) = 0
arg(z) = `pi/3` को संतुष्ट करने वाले z का बिंदु पथ ______ है।
सम्मिश्र संख्या (i25)3 का ध्रुवीय रूप क्या है?
यदि a = cosθ + isinθ है, तो `(1 + "a")/(1 - "a")` का मान ज्ञात कीजिए।
दर्शाइए कि प्रतिबंध arg`((z - 1)/(z + 1)) = pi/4` को संतुष्ट करने वाली सम्मिश्र संख्या z एक वृत्त पर स्थित है।
यदि arg(z − 1) = arg(z + 3i) है, तो x − 1 : y ज्ञात कीजिए, जहाँ z = x + iy
यदि z1 और z2 दो ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं ताकि |z1| = |z2| और arg(z1) + arg(z2) = π, तो दर्शाइए कि z1 = `-barz_2`
सम्मिश्र संख्या z = `(1 - i)/(cos pi/3 + i sin pi/3)` को ध्रुवीय रूप में लिखिए।
यदि z और w दो सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि |zw| = 1 और arg(z) − arg(w) = `π/2`, तो दर्शाइए कि `barz`w = –i
यदि |z| = 4 और arg(z) = `(5π)/6`, तो z = ______
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।
मान लीजिए कि z1 और z2 दो ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं कि |z1 + z2| = |z1| + |z2| तब arg(z1 – z2) = 0
z ज्ञात कीजिए, यदि |z| = 4 और arg(z) = `(5pi)/6`
`(1 + isqrt3)^2` का मुख्य कोणांक ज्ञात कीजिए।
|z1 + z2| = |z1| + |z2| संभव है, यदि
जब x < 0 तो arg(x) का मान है
