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Question
यदि सम्मिश्र संख्या z1 और z2 के लिए, arg(z1) − arg(z2) = 0, तब दर्शाइए कि `|z_1 - z_2| = |z_1| - |z_2|`
Solution
`z_1 = |z_1|(costheta_1 + isintheta_1)` और `z_2 = |z_2|(costheta_2 + isintheta_2)`,
⇒ arg(z1) = θ1 और arg(z2) = θ2
पता है की, arg(z1) - arg(z2) = 0
⇒ θ1 - θ2 = 0
⇒ θ1 = θ2
`z_2 = |z_2|(costheta_1 + isintheta_1)` [∵ θ1 = θ2]
इसलिए, `z_1 - z_2 = (|z_1|costheta_1 - |z_2|sintheta_1) + i(|z_1|costheta_1 - |z_2|sintheta_1)`
⇒ `|z_1 - z_2| = sqrt((|z_1|costheta_1 - |z_2|sintheta_1)^2 + (|z_1|sintheta_1 - |z_2|sintheta_1)^2)`
= `sqrt(|z_1|^2 + |z_2|^2 - 2|z_1||z_1|cos^2theta_1 - 2|z_1||z_2|sin^2theta_1)`
= `sqrt(|z_1|^2 + |z_2|^2 - 2|z_1||z_2|[cos^2theta_1 + sin^2theta_1])`
= `sqrt(|z_1|^2 + |z_2|^2 - 2|z_1||z_2|)`
= `sqrt((|z_1| - |z_2|)^2)`
⇒ |z1 - z2| = |z1| - |z2|
इसलिए, यह सिद्ध होता है कि ∣z1 - z2∣ = ∣z1∣-∣z2∣
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i
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