Question

यदि |z| = 4 और arg(z) = ${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$, तो z = ______

Answer 1

यदि |z| = 4 और arg(z) = ${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$, तो z = ${\displaystyle \underline{-2\sqrt{3}+2i}}$

स्पष्टीकरण:

पता है की,  |z| = 4 और arg(z) = ${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$

देखो z = x + yi

⇒ |z| = ${\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}}$ = 4

⇒ x² + y² = 16   ......(i)

आगे हल करें,

⇒ arg(z) = ${\displaystyle {\tan }^{-1} \left(\frac{y}{x}\right)=\frac{5\pi }{6}}$

⇒ ${\displaystyle \frac{y}{x}=\tan \frac{5\pi }{6}}$

= ${\displaystyle \tan (\pi -\frac{\pi }{6})}$

= ${\displaystyle -\tan \frac{\pi }{6}}$

= ${\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{3}}}$

∴ x = ${\displaystyle -\sqrt{3}y}$  ....(ii)

समीकरण (1) और (2) पर विचार करें।

⇒ ${\displaystyle {(-\sqrt{3}y)}^2+y^2}$ = 16

⇒ 3y² + y² = 16

⇒ 4y² = 16

⇒ y² = 4

⇒ y = ${\displaystyle \pm 2}$

इसलिए,

⇒ x = ${\displaystyle -2\sqrt{3}}$

⇒ z = ${\displaystyle -2\sqrt{3}+2i}$

इसलिए यह एक वृत्त के समीकरणों का प्रतिनिधित्व करता है।

इसलिए, अगर |z| = 4 और arg(z) = ${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$, तब ${\displaystyle -2\sqrt{3}+2i}$