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प्रश्न
यदि `vec"a" + vec"b" + vec"c"` = 0, तो सिद्ध कीजिए कि `vec"a" xx vec"b" = vec"b" xx vec"c" = vec"c" xx vec"a"` इस परिणाम का ज्यामितीय विमोचन कीजिए।
उत्तर
दिया गया है कि `vec"a" + vec"b" + vec"c"` = 0
तो, `vec"a" xx (vec"a" + vec"b" + vec"c") = vec"a" xx 0`
⇒ `vec"a" xx vec"a" + vec"a" xx vec"b" + vec"a" xx vec"c"` = 0
⇒ `vec"0" + vec"a" xx vec"b" + vec"a" xx vec"c"` = 0 ....`(vec"a" xx vec"a" = 0)`
⇒ `vec"a" xx vec"b" - vec"c" xx vec"a"` = 0 ....`(vec"a" xx vec"c" = -vec"c" xx vec"a")`
⇒ `vec"a" xx vec"b" = vec"c" xx vec"a"` .....(i)
अब `vec"a" + vec"b" + vec"c"` = 0
⇒ `vec"b" xx (vec"a" + vec"b" + vec"c") = vec"b" xx 0`
⇒ `vec"b" xx vec"a" + vec"b" xx vec"b" xx vec"c"` = 0
⇒ `vec"b" xx vec"a" + vec0 + vec"b" xx vec"c"` = 0 ....`("क्योंकि" vec"b" xx vec"b" = 0)`
⇒ `-(vec"a" xx "b") + vec"b" xx vec"c"` = 0
∴ `vec"b" xx vec"c" = vec"a" xx vec"b"` ....(ii)
समीकरण (i) और (ii) से हम प्राप्त करते हैं
`vec"a" xx vec"b" = vec"b" xx vec"c" = vec"c" xx vec"a"`.
इसलिए साबित हुआ।
ज्यामितीय व्याख्या
आकृति के अनुसार, हम जानते हैं कि
समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल है।
⇒ `|vec"a" xx vec"b"| = |vec"a"||vec"b"| sin theta`
क्योंकि, एक ही आधार पर और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित समांतर चतुर्भुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं।
∴ `|vec"a" xx vec"b"| = |vec"b" xx vec"c"| = |vec"c" xx vec"a"|`
⇒ `vec"a" xx vec"b" xx vec"c" = vec"c" xx vec"a"`.
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