Advertisements
Advertisements
Question
केंद्र O वाले एक वृत्त पर एक बाहरी बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ PQ और PR खींची गई हैंसिद्ध कीजिए कि QORP एक चक्रीय चतुर्भुज है।
Solution
दिया गया है: केंद्र O वाले वृत्त पर एक बाहरी बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ PQ और PR खींची गई हैं।
सिद्ध करने के लिए: QORP एक चक्रीय चतुर्भुज है।
प्रमाण: चूँकि, PR और PQ स्पर्श रेखाएँ हैं।
तो, OR ⊥ PR और OQ ⊥ PQ ...[चूँकि, यदि हम एक वृत्त के केंद्र से उसकी स्पर्श रेखा तक एक रेखा खींचते हैं। फिर, रेखा हमेशा स्पर्श रेखा के लंबवत होती है।]
∴ ∠ORP = ∠OQP = 90°
अतः, ∠ORP + ∠OQP = 180°
तो, QOPR चक्रीय चतुर्भुज है। ...[यदि विपरीत कोणों का योग 180° पर चतुर्भुज है, तो चतुर्भुज चक्रीय है।]
अत: सिद्ध हुआ।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
एक बिन्दु Q से एक वृत्त की स्पर्श रेखा की लम्बाई 24 cm तथा Q की केन्द्र से दूरी 25 cm है। वृत्त की त्रिज्या है।
यदि एक बिन्दु P से O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 800 के कोण पर झुकी हों, तो ∠POA बराबर है:
सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिन्दु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लम्ब वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है।
दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 cm तथा 3 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त स्पर्श करती हो।
सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण, केंद्र से संपर्क बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंडों द्वारा अंतरित कोण का संपूरक होता है।
केंद्र O वाले वृत्त पर किसी बाहरी बिंदु P से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई OP से सदैव छोटी होती है।
यदि किसी बिंदु P से त्रिज्या a और केंद्र O वाले वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण 90° है, तो OP = `asqrt(2)` होता है।
आकृति में, दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ AB और CD परस्पर बिंदु E पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि AB = CD है।
एक बाहरी बिंदु P से केंद्र O वाले वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची जाती हैं। वृत्त के एक बिंदु E पर एक स्पर्श रेखा खींची जाती है, जो PA और PB को क्रमश : D और E पर प्रतिच्छेद करती है। यदि PA = 10 cm है, तो त्रिभुज PCD का परिमाप ज्ञात कीजिए।
केंद्र O और त्रिज्या 5 cm वाले एक वृत्त के केंद्र से 13 cm की दूरी पर एक बिंदु A है। AP और AQ क्रमश: बिंदुओं P और Q पर वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि लघु चाप PQ पर स्थित एक बिंदु R पर एक स्पर्श रेखा BC ऐसी खींची जाए, जो AP को B और AQ को C पर प्रतिच्छेद करे, तो ΔABC का परिमाप ज्ञात कीजिए।
