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Question
मान लीजिए n एक निश्चित (स्थिर) धन पूर्णांक है। Z में एक संबंध R निम्लिखित प्रकार से परिभाषित कीजिए : ∀ a, b ∈ Z, aRb यदि और केवल यदि a - b, भाज्य है n से। सिद्ध किजिए कि R एक तुल्यता संबंध है।
Solution
दिया गया ∀ a, b ∈ Z, aRb यदि और केवल यदि a – b, n से विभाज्य है।
अब, के लिए
aRa (a - a) n से विभाज्य है, जो किसी भी पूर्णांक a के लिए सत्य है क्योंकि '0' n से विभाज्य है।
इस प्रकार, R परावर्तक है।
अब, aRb
अत: (a – b) n से विभाज्य है।
⇒ – (b – a) n से विभाज्य है।
⇒ (b – a) n से विभाज्य है।
⇒ bRa
अत: R सममित है।
मान लीजिए aRb और bRc हैं।
तब, (a - b) n से विभाज्य है और (b - c) n से विभाज्य है।
अत: (a – b) + (b – c) n से विभाज्य है।
⇒ (a – c) n से विभाज्य है।
⇒ aRc
इस प्रकार, R सकर्मक है।
अतः R एक तुल्यता संबंध है।
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