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Question
निम्नलिखित में से N में एक संबंध परिभाषित करते है:
x y किसी पूर्णाक का वर्ग है, x, y ∈ N
निर्धारित कीजिए कि उपर्युक्त संबंधो में से कौन-से संबंध स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हैं।
Solution
दिया गया है, xy एक पूर्णांक x का वर्ग है, x, y ∈ N
R = {(x, y): xy एक पूर्णांक x का एक वर्ग है, y ∈ N}
यह स्पष्ट रूप से(x, x) ∈ R, ∀ x ∈ N है।
चूंकि x2 किसी भी x ∈ N के लिए एक पूर्णांक का वर्ग है।
इस प्रकार, R प्रतिवर्त है।
If (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R
अतः R सममित है।
अब, यदि xy एक पूर्णांक का वर्ग है और yz एक पूर्णांक का वर्ग है।
फिर, मान लीजिए xy = m2 और yz = n2 कुछ m के लिए, n ∈ Z
x =`"m"^2/y` और z = `x^2/y`
xz = `("m"^2"n"^2)/y^2`, जो एक पूर्णांक का वर्ग है।
इस प्रकार, R संक्रामक है।
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