Question

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-

y dx + (x – y²)dy = 0

Answer 1

y dx + (x – y²) dy = 0

या  ${\displaystyle \frac{dx}{dy}+\frac{x}{y}=y}$

 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}+Py=Q,}$ के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है।

यहाँ  P = ${\displaystyle \frac{1}{y},Q=y}$

∴ ${\displaystyle I.F.=e^{\int Pdx}=e^{\int \left(\frac{1}{y}\right)dy}=e^{\log y}=y}$

अतः अवकल समीकरण का व्यापक हल

${\displaystyle x\times I.F.=\int Q\times (I.F.)dy+C}$

⇒ ${\displaystyle x\times y=\int y\times y dy+C}$

⇒ ${\displaystyle xy=\int y^{2}dy+C}$ 

⇒ ${\displaystyle xy=\frac{1}{3}{y}^3+C}$

⇒ ${\displaystyle x=\frac{y^2}{3}+\frac{C}{y}}$

जो आवश्यक समाधान है।