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Question
निम्नलिखित श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + …..
Solution
1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + ……
पहले गुणनखंडों की श्रेणी 1, 2, 3, 4, ….. n
nवाँ पद = n
दूसरे गुणनखंडों की श्रेणी 2, 3, 4, 5, ….
nवाँ पद = (n + 1)
तीसरे गुणनखंडों की श्रेणी 3, 4, 5 ….
nवाँ पद = (n + 2)
∴ 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + …… का nवाँ पद
= n(n + 1) (n + 2) = n(n2 + 3n + 2)
= n3+ 3n2 + 2n
∴ श्रेणी का योगफल = ∑n3 + 3∑n2 + 2∑n
= `(("n"("n" + 1))/2)^2 + (3"n"("n" + 1)(2"n" + 1))/6 + (2"n"("n" + 1))/2`
= `("n"("n" + 1))/4 ["n"("n" + 1) + 2(2"n" + 1) + 4]`
= `("n"("n" + 1))/4 ["n"^2 + "n" + 4"n" + 2 + 4]`
= `("n"("n" + 1)("n"^2 + 5"n" + 6))/4`
= `("n"("n" + 1) ("n" + 2) ("n" + 3))/4`
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(2n – 1)2
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