Question

(x + 1)ⁿ के प्रसार में (r – 1) ^वाँ, r ^वाँ और (r + 1) ^वें पदों के गुणांक में 1 : 3 : 5 का अनुपात हो तो n तथा r का मान ज्ञात करो।

Answer 1

`(x + 1)^n   "का व्यापक पद"   T _(r +1)  =  ^nC_r  x^(n -r)`

∴ (r + 1) वें पद का गुणांक = `""^nC_r`

∴ (r -1) वें पद का गुणांक = `""^nC_r -2`

r वें पद का गुणांक = `""^nC_r - 1`

दिया हुआ है की `""^nC_(r-2) :  ^nC_(r - 1) :  ^nC_r  = 1 : 3 : 5`

`(""^nC_(r -1))/(  ^nC_r)  =  3/5`

या  `(n!)/((r - 1)!(n - r + 1)!)  =  3/5`

`(n!)/(r!(n - r)!)`

या  `((r)!(n - r)!)/((r - 1)!(n - r +1)!)  = 3/5`

या `(r(r-1)!(n - r)!)/((r -1)!(n - r +1)(n -r)) = 3/5`

`r/(n - r +1) = 3/5`

5r = 3n - 3r + 3

इसी प्रकार  `""^nC_(r - 2) :  ^nC_(r - 1) = 1 : 3`

`(""^nC_(r - 2))/(""^nC_(r - 1)) = 1/3`

या `(n!)/((r - 2)!(n - r + 2)!)  = 1/3`

या `(n!)/((r - 1)!(n - r +2)) = 1/3`

या `((r - 1)!(n - r + 1)!)/((r -2)!(n - r +2)!)  = 1/3`

`(r - 1)/(n - r + 2)  = 1/3`

3r - 3 = n - r + 2

n - 4r = - 5

समीकरण १ तथा २ को हल करने पर, n = 7

और r = 3

अतः n = 7, r = 3.