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Question
यदि p मूल बिंदु से उस रेखा पर डाले लंब की लंबाई हो जिस पर अक्षों पर कटे अंत: खंड a और b हों, तो दिखाइए कि `1/"p"^2 = 1/"a"^2 + 1/"b"^2`
Solution
यह ज्ञात है कि उस रेखा का समीकरण जिसके अक्षों पर अंतःखंड a और b हैं
`x/a + y/b = 1`
या bx + ay = ab
या bx + ay - ab = 0 .......(1)
एक बिंदु (x1, y1) से एक रेखा Ax + By + C = 0 की लंब की दूरी (d) d = `|Ax_1 + By_1 + C|/sqrt(A^2 + B^2)` द्वारा दी गई है।
समीकरण (1) की तुलना रेखा Ax + By + C = 0 के सामान्य समीकरण से करने पर, हमें A = b, B = a, और C = -ab मिलता है।
इसलिए, यदि बिंदु (x1, y1) = (0, 0) से रेखा (1) तक लंब की लंबाई p है, तो हम प्राप्त करते हैं
`p = |A(0) + B(0)-ab|/sqrt(b^2 + a^2)`
= `p = |-ab|/sqrt(a^2 + b^2)`
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है
`p^2 = (-ab)^2/(a^2 + b^2)`
= p2 (a2 + b2) = a2b2
= `(a^2 + b^2)/(a^2b^2) = 1/(p^2)`
= `1/p^2 = 1/a^2 + 1/b^2`.
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