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Question
दिखाइए कि `(sqrt("a"^2 - "b"^2), 0)` और `(-sqrt("a"^2 - "b"^2), 0)` बिंदुओं से रेखा `"x"/"a" cos θ + "y"/"b" sin θ = 1` पर खींचे गये लंबों की लंबाइयों का गुणनफल b2 है।
Solution
दी गई रेखा `"x"/"a" cos θ + "y"/"b" sin θ - 1 = 0` .......(i)
`(sqrt("a"^2 - "b"^2), 0)` से खींचें गए लंब की लंबाई
p1 = `(sqrt("a"^2 - "b"^2)/"a" cos θ - 1)/ sqrt(cos^2 θ/"a"^2 + (sin^2 θ)/"b"^2)` .............`[∵ "d" = ("ax"_1 + "by"_1 + "c"_1)/sqrt("a"^2 + "b"^2)]`
इसी प्रकार `(- sqrt("a"^2 - "b"^2), 0)` से रेखा (i) पर खींचें गए लंब की लंबाई
p2 = `(-sqrt("a"^2 - "b"^2)/"a" cos θ - 1)/ sqrt(cos^2 θ/"a"^2 + (sin^2 θ)/"b"^2)`
∴ P1P2 = `(sqrt("a"^2 - "b"^2)/"a" cos θ - 1)/ sqrt(cos^2 θ/"a"^2 + (sin^2 θ)/"b"^2) xx (-sqrt("a"^2 - "b"^2)/"a" cos θ - 1)/ sqrt(cos^2 θ/"a"^2 + (sin^2 θ)/"b"^2)`
= `(-(("a"^2 - "b"^2)/"a"^2 cos^2 θ - 1))/(cos ^2 θ/"a"^2 + (sin^2 θ)/"b"^2)`
= `(-"b"^2 [("a"^2 - "b"^2) cos^2 θ - "a"^2])/("b"^2 cos^2 θ + "a"^2 sin^2 θ)`
= `(-"b"^2 [("a"^2 - "b"^2) cos^2 θ - "a"^2])/("b"^2 cos^2 θ+ "a"^2 (1 - cos^2 θ))` ..........[∴ sin2 θ = 1 - cos2 θ]
= `(-"b"^2 [("a"^2 - "b"^2) cos^2 θ - "a"^2])/(("b"^2 - "a"^2) cos^2 θ + "a"^2)`
= `(-"b"^2 [("a"^2 - "b"^2) cos^2 θ - "a"^2])/(-("a"^2 - "b"^2) cos^2 θ - "a"^2)`
= `"b"^2`
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