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Question
एक व्यक्ति समीकरणों 2x – 3y + 4= 0 और 3x + 4y – 5 = 0 से निरूपित सरल रेखीय पथों के संधि बिंदुओं (junction/crossing) पर खड़ा है और समीकरण 6x – 7y + 8 = 0 से निरूपित पथ पर न्यूनतम समय में पहुँचना चाहता है। उसके द्वारा अनुसरित पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution
AB और BC दो रेखीय पथ हैं। AB व BC रेखाओं के समीकरण
2x – 3y + 4 = 0 …..........(i)
और 3x + 4y – 5 = 0 ….........(ii)
AB और BC बिंदु B पर मिलते हैं।
समीकरण (i) को 3 से तथा समीकरण (ii) को 2 से गुणा करने पर
6x – 9y = –12 …..........(iii)
6x + 8y = 10 …........(iv)
समीकरण (iii) को समीकरण (iv) में से घटाने पर,
17y = 10 + 12 = 22
∴ y = `22/7`
y का मान समीकरण (i) में रखने पर,
`2"x" - 3 xx (22/17) = -4`
या `2"x" = -4 + 66/17 = (-2)/17`
∴ x = `-1/17`
इस प्रकार B के निर्देशांक `((-1)/17, 22/17)` हैं।
B से AC तक न्यूनतम समय में पहुंचने के लिए कम से कम दूरी BD (BD ⊥ AC) तय करनी है।
रेखा AC का समीकरण, 6x – 7y + 8= 0 की ढाल = `6/7`
BD की ढाल = `-7/6`
BD बिंदु B `((-1)/17, 22/17)` से होकर जाती है।
∴ रेखा BD का समीकरण
y – y1 = m(x – x1)
`"y" - 22/17 = -7/6 ("x" + 1/17)`
102 से गुणा करने पर,
102y – 132 = –119x – 7
119x + 102y – 125 = 0
अतः B से AC तक पहुँचने के लिए BD पथ अपनाना है जिसका समीकरण 119x + 102y – 125 = 0 है।
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