Question

यदि y = Ae^mx + be^nx  है तो दर्शाइए कि `(d^2 y)/dx^2` = (m + n) `dy/dx` + mny = 0

Answer 1

दिया है, y = Ae^mx + be^nx   ...(1)

दोनों पक्षों का के सापेक्ष अवकलन करने पर,

`dy/dx = A  d/dx  e^(mx) + B  d/dx  e^(nx) = A  e^(mx) d/dx  (mx) + B  e^(nx) d/dx  (nx)`

= A · me^mx + B · ne^nx     ...(2)

दोनों पक्षों का पुन: x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

`(d^2 y)/dx^2 = Am  d/dx  e^(mx) + Bn  d/dx  e^(nx)`

= Am² e^mx + Bn² e^nx          ...(3)

बायाँ पक्ष `(d^2 y)/dx^2` - (m + n) `dy/dx` + mn y 

= Am² e^mx + Bn² e^nx - (m + n) x (Ame^mx + Bne^nx) + mn (Ae^mx + Be^nx)

     ...[समीकरण (1) से y का, समीकरण (2) से `dy/dx`  का तथा समीकरण (3) से `(d^2 y)/dx^2` का मान रखने पर]

= Ae^mx [m² - m(m + n) + mn] + Be^nx [n² - n (m + n) + mn]

= Ae^mx [m² - m² - mn + mn] + Be^nx [n² - mn - n² + mn]

= Ae^mx x 0 + Be^nx x 0 = 0 = दायाँ पक्ष

Answer 2

माना, y = Ae^mx + Be^nx       ....(1)

(1) का x के संबंध में अवकलन करने पर हमें प्राप्त होता है

`dy/dx = Ae^(mx). m+ Be^(nx).n = Ame^(mx) + Bn e^(nx)`        ....(2)

(2) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, हम पाते हैं,

`(d^2y)/dx^2 = Ame^(mx). m + Bn e^(nx).n`

`= Am^2e^(mx) + Bn^2e^(nx)`

अब,

`(d^2y)/dx^2 - (m + n) dy/dx + mny `

`= Am^2e^(mx) + Bn^2e^(nx) - [(m + n) Ame^(mx) + Bn e^(nx) ] + mn (Ae^(mx) + Be^(nx))`         .....[(1), (2) और (3) से]

`= Am^2e^(mx) - Bn^2e^(nx) - Am^2e^(mx) - Bmn e^(nx) - Amn e^(mx) - Bn^2e^(nx) + Amn e^(mx) + Bmn e^(nx) = 0`