Question

यदि y = (tan^-1 x)² है तो दर्शाइए कि (x² + 1)² y₂ + 2x (x² + 1) y₁ = 2 है।

Answer 1

दिया है, y = (tan^-1 x)²

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

`dy/dx = d/dx` (tan^-1 x)² = 2 tan^-1 x `d/dx` (tan^-1 x)

या `dy/dx  = (2  tan^-1 x)/(1 + x^2)`

दोनों पक्षों में (1 + x²) से गुना करने पर, (1 + x²) `dy/dx` = 2 tan^-1 x

दोनों पक्षों का पुन: x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

(1 + x²) `(d^2 y)/dx^2 + (2x) dy/dx = 2/(1 + x^2)`

दोनों पक्षों में (1 + x²) से गुना करने पर,

(1 + x²) `(d^2 y)/dx^2 + 2x  (1 + x^2) dy/dx = 2`

=> (x² + 1)² y₂ + 2x (x² + 1) y₁ = 2

Answer 2

माना y = (tan^-1 x)²

(1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, हम पाते हैं,

`dy/dx = 2 tan^-1 x . 1/(1 + x^2)`

`(d^2y)/dx^2 = 2 [tan^-1 x (({1 + x^2} . 0 - 2x))/(1 + x^2)^2 + 1/ (1 + x^2). 1/ (1 + x^2)]`

`= 2 [(-2x tan^-1 x)/ (1 +x^2)^2 + 1/ (1 + x^2)^2]`

`= 2 [(-2x tan^-1 x + 1)/ (1 + x^2)^2]`

अब,

`(x^2 + 1)^2 (d^2y)/dx^2 + 2x (x^2 + 1) dy/dx`

`= (x^2 + 1)^2 . 2 [(-2x tan^-1x + 1)/ (1 + x^2)^2] + 2x (x^2 + 1). 2tan ^-1 x. 1/ (1 + x^2)`

`= -4x tan^-1 x + 2 + 4x tan^-1 x = 2`