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रेख AB यह X-अक्ष के समांतर है तथा बिंदु A का निर्देशांक (1, 3) है, तो बिंदु का निर्देशांक ______ होगा।
Concept: दो बिंदुओं के बीच की दूरी
किसी त्रिभुज के शीर्षबिंदुओं के निर्देशांक (4, –3), (7, 5) तथा (–2, 1) हैं, तो केंद्रक का ‘Y’ निर्देशांक ज्ञात करो।
Concept: केंद्रव बिंदु का सूत्र (माध्यिका संगामी बिंदु का सूत्र) (Centroid Formula)
यदि बिंदु A(4, –3) तथा B(8, 5) हो, तो रेखाखंड AB को 3 : 1 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु P का निर्देशांक ज्ञात करने के लिए निम्न कृति पूर्ण करो:
कृति: 
x = `(mx_2 + nx_1)/square`
∴ x = `(3 xx 8 + 1 xx 4)/(3 + 1)`
∴ x = `(square + 4)/4`
∴ x = `square`,
y = `square/(m + n)`
∴ y = `(3 xx 5 + 1 xx (-3))/(3 + 1)`
∴ y = `(square - 3)/4`
∴ y = `square`
Concept: विभाजन सूत्र
मूल बिंदु के निर्देशांक ______ हैं।
Concept: दो बिंदुओं के बीच की दूरी
बिन्दु O(0, 0) तथा P(3, 4) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
Concept: दूरी सूत्र
बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, यदि बिन्दु P रेखाखंड AB का मध्य बिन्दु है, जिसमें A(-4, 2) व B(6, 2) हो।
हल:
माना (-4, 2) = (x1, y1) तथा (6, 2) = (x2, y2) और बिन्दु P के निर्देशांक (x, y) हैं।
मध्यबिन्दु के सूत्रनुसार,
`x = (x_1 + x_2)/2`
∴ `x = (square + 6)/2`
∴ `x = square/2`
∴ x = `square`
`y = (y_1 + y_2)/2`
∴ `y = (2 + square)/2`
∴ y = `4/2`
∴ y = `square`
∴ मध्यबिन्दु P के निर्देशांक `square` हैं।
Concept: रेखाखंड के मध्यबिंदु का सूत्र
X-अक्ष का ढाल = ?
Concept: रेखा का ढाल (Slope of a Line)
सिद्ध कीजिए।
`tanA/(1 + tan^2A)^2 + cotA/(1 + cot^2A)^2 = sinA cosA`
Concept: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
यदि sinθ = `11/61`, तो सर्वसमिका का उपयोग करके cosθ का मान ज्ञात कीजिए।
Concept: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
नीचे दिए गए बहुवैकल्पिक प्रश्न के उत्तर का सही विकल्प चुनकर लिखिए।
sinθ cosecθ = कितना?
Concept: कोसेक, सेक और कॉट अनुपात (Cosec, Sec and Cot Ratios)
2tan 45° – 2sin 30° का मान ______ है।
Concept: 0°,30°,45°,60° और 90° माप के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों की सारिणी।
यदि sin θ = cos θ हो, तो θ का मान कितना होगा?
Concept: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
cot θ + tan θ = cosec θ × sec θ सिद्ध करने के लिए निम्न कृति पूर्ण करो:
कृति: बायाँ पक्ष = cot θ + tan θ
= `cosθ/sinθ + square/cosθ`
= `(square + sin^2θ)/(sinθ xx cosθ)`
= `1/(sinθ xx cosθ)` ...........(∵ `square`)
= `1/sinθ xx 1/cosθ`
= `square` × sec θ
∴ बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।
Concept: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
यदि sin θ = `11/61` हो, तो त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके cos θ का मान ज्ञात करो।
Concept: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
θ का निरसन कीजिए:
x = r cosθ तथा y = r sinθ
Concept: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
सिद्ध कीजिए: cotθ + tanθ = cosecθ × secθ
हल:
बायाँ पक्ष = cotθ + tanθ
= `cosθ/sinθ + sinθ/cosθ`
= `(square + square)/(sinθ xx cosθ)`
= `1/(sinθ xx cosθ)` ............... `square`
= `1/sinθ xx 1/square`
= cosecθ × secθ
∴ बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
∴ cotθ + tanθ = cosecθ × secθ
Concept: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
एक व्यक्ति किसी मंदिर से 50 मी. की दूरी पर खड़ा होकर उस मंदिर के ऊपरी सिरे को देखता है, उस समय उस व्यक्ति द्वारा 45° का उन्नत कोण बनता है, तो उस मंदिर की ऊँचाई कितनी होगी, ज्ञात कीजिए।
Concept: त्रिकोणमिति का उपयोजन (Application of Trigonometry)
यदि `1/sin^2θ-1/cos^2θ-1/tan^2θ-1/cot^2θ-1/sec^2θ-1/("cosec"^2θ) = -3`, तो θ का मान ज्ञात कीजिए।
Concept: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
sin2θ + cos2θ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
Δ ABC में, ∠ABC = 90°, ∠C = θ°
AB2 + BC2 = `square` .....(पायथागोरस प्रमेय)
दोनों पक्षों में AC2 से भाग देने पर,
`"AB"^2/"AC"^2 + "BC"^2/"AC"^2 = "AC"^2/"AC"^2`
∴ `("AB"^2/"AC"^2) + ("BC"^2/"AC"^2) = 1`
परन्तु `"AB"/"AC" = square और "BC"/"AC" = square`
∴ `sin^2 theta + cos^2 theta = square`
Concept: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
किसी गोले की त्रिज्या 7 सेमी हो तो उसका पृष्ठफल ज्ञात कीजिए।
Concept: गोले का पृष्ठफल
