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प्रश्न
दो सीधे पथ समीकरणों x – 3y = 2 और –2x + 6y = 5 द्वारा निरूपित हैं। जाँच कीजिए कि ये पथ परस्पर काटते हैं या नहीं।
उत्तर
दिए गए रैखिक समीकरण हैं।
x – 3y – 2 = 0 ......(i)
–2x + 6y – 5 = 0 ......(ii)
ax + by c = 0 से तुलना करने पर, हमें मिलता है।
a1 = 1, b1 = –3, c1 = – 2
a2 = –2, b2 = 6, c2 = – 5
`a_1/a_2 = 1/(-2)`
`b_1/b_2 = (-3)/6 = -1/2`
`c_1/c_2 = 2/5`
i.e., `a_1/a_2 = b_1/b_2 ≠ c_1/c_2` ......[समांतर रेखाएँ]
इसलिए, दिए गए समीकरणों द्वारा दर्शाए गए दो सीधे रास्ते कभी भी एक-दूसरे को नहीं काटते, क्योंकि वे एक-दूसरे के समानांतर होते हैं।
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आफ़ताब अपनी पुत्री से कहता है, 'सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था। अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा। (क्या यह मनोरंजक है?)' इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
अनुपातों `bb(a_1/a_2, b_1/b_2)` और `(c_1/c_2)` की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपण रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं:
5x - 4y + 8 = 0
7x + 6y - 9 = 0
अनुपातों `bb(a_1/a_2, b_1/b_2)` और `bb(c_1/c_2)` की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपण रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं:
9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
अनुपातों `a_1/a_2, b_1/b_2` और `c_1/c_2` की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपण रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं:
6x - 3y + 10 = 0
2x - y + 9 = 0
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए:
px + qy = p - q
qx - py = p + q
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए:
ax + by = c
bx + ay = 1 + c
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए:
152x - 378y = -74
-378x + 152y = -604
निम्नलिखित समीकरण-युग्मों (i) से (iv) में p और (v) में p तथा q के मान ज्ञात कीजिए :
– x + py = 1 और px – y = 1,
यदि समीकरण-युग्म का कोई हल नहीं है।
निम्नलिखित समीकरण-युग्मों (i) से (iv) में p और (v) में p तथा q के मान ज्ञात कीजिए :
– 3x + 5y = 7 और 2px – 3y = 1
यदि इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएँ एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
यदि 2x + y = 23 और 4x – y = 19 है, तो 5y – 2x और `y/x - 2` के मान ज्ञात कीजिए।
