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प्रश्न
निम्नलिखित आकृति में, ABCDE एक पंचभुज है। AC के समांतर खींची गई BP बढ़ाई गई DC को P पर तथा AD के समांतर खींची गई EQ बढ़ाई गई CD से Q पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि ar (ABCDE) = ar (APQ) है।
उत्तर
दिया गया है - ABCDE एक पंचभुज है।
BP || AC और EQ || AD
सिद्ध करना है - ar (ABCDE) = ar (APQ)
उपपत्ति - हम जानते हैं कि, समान आधार और समान समांतर रेखाओं के बीच बने त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं।
यहाँ, ΔADQ और ΔADE एक ही आधार AD और एक ही समांतर रेखाओं AD और EQ के बीच स्थित हैं।
इसलिए, ar (ΔADQ) = ar (ΔADE) ...(i)
इसी प्रकार, ΔACP और ΔACB एक ही आधार AC और समान समांतर रेखाओं AC और BP के बीच स्थित हैं।
इसलिए, ar (ΔACP) = ar (ΔACB) ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।
ar (ΔADQ) + ar (ΔACP) = ar (ΔADE) + ar (ΔACB)
दोनों पक्षों में ar (ΔACD) जोड़ने पर, हम पाते हैं।
ar (ΔADQ) + ar (ΔACP) + ar (ΔACD) = ar (ΔADE) + ar (ΔACB) + ar (ΔACD)
⇒ ar (ΔAPQ) = ar (ABCDE)
अत: सिद्ध हुआ।
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(i) ar (APB) + ar (PCD) = `1/2`ar (ABCD)
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