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प्रश्न
निम्नलिखित फलन का समाकलन कीजिए।
`(x^2 + x + 1)/((x + 1)^2 (x + 2))`
उत्तर
माना `I = (x^2 + x + 1)/((x + 1)^2 (x + 2)) dx`
अब, `(x^2 + x + 1)/((x + 1)^2 (x + 2))`
`= A/(x + 2) + B/(x + 1) + C/(x + 1)^2`
∴ x2 + x + 1 ≡ A(x + 1)2 + B(x + 2)(x + 1) + C(x + 2)
x = -2 रखने पर,
⇒ 4 - 2 + 1 = A(- 1)2
और 3 = A
A = 3
x = - 1 रखने पर,
⇒ 1 - 1 + 1 = C(- 1 + 2)
∴ C = 1
x2 के गुणांक की तुलना करने पर,
1 = A + B
B = 1 - A = 1 - 3
∴ B = - 2
∴ `(x^2 + x + 1)/((x + 1)^2 - (x + 2))`
`= 3/(x + 2) - 2/(x + 1) + 1/(x + 1)^2`
∴ I = `int (x^2 + x + 1)/((x + 1)^2 - (x + 2)) dx`
`= int 3/(x + 2) dx - 2int 1/(x + 1) dx + int 1/(x + 1)^2 dx`
`= 3 log (x + 2) - 2 log (x + 1) - 1/(x + 1) + C`
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