माना y = sinmx . cosnx &there4; `"dy"/"dx" = "d"/"dx" [(sin x)^"m" * (cos x)^"n"]` = `(sin x)^"m" "d"/"dx" (cos x)^"n" + (cos x)^"n" "d"/"dx" (sin x)^"m"` = `(sin x)^"m" "n"(cos x)^("n" - 1) "d"/"dx" (cos x) + (cos x)^"n" "m"(sin x)^("m" - 1) "d"/"dx" (sin x)` = `(sin x)^"m" "n"(cos x)^("n" - 1) (- sin x) + (cos x)^"n" "m"(sin x)^("m" - 1) cos x` = sinm x cosn x[–n tan x + m cot x]

Sinmx . cosnx - Mathematics (गणित)

प्रश्न

sin^mx . cosⁿx

योग

उत्तर

माना y = sin^mx . cosⁿx

∴ $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [{(\sin x)}^{m} \cdot {(\cos x)}^{n}]$

= ${(\sin x)}^{m} \frac{d}{dx} {(\cos x)}^{n} + {(\cos x)}^{n} \frac{d}{dx} {(\sin x)}^{m}$

= ${(\sin x)}^{m} n {(\cos x)}^{n - 1} \frac{d}{dx} (\cos x) + {(\cos x)}^{n} m {(\sin x)}^{m - 1} \frac{d}{dx} (\sin x)$

= ${(\sin x)}^{m} n {(\cos x)}^{n - 1} (- \sin x) + {(\cos x)}^{n} m {(\sin x)}^{m - 1} \cos x$

= sin^m x cosⁿ x[–n tan x + m cot x]

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सांतत्य तथा अवकलनीयता

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अध्याय 5: सांतत्य और अवकलनीयता - प्रश्नावली [पृष्ठ १०७]

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एनसीईआरटी एक्झांप्लर Mathematics [Hindi] Class 12

अध्याय 5 सांतत्य और अवकलनीयता
प्रश्नावली | Q 35 | पृष्ठ १०७

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प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-

x^x + x^a + a^x + a^a, किसी नियत a > 0 तथा x > 0 के लिए।

$\sqrt{\tan \sqrt{x}}$ को x के सापेक्ष अवकलित कीजिए।

यदि y = tanx + secx है, तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{\cos x}{{(1 - \sin x)}^{2}}$ है।

[3, 5] में फलन f (x) = (x – 3) (x – 6) (x – 9 के लिए माध्यमान प्रमेय का सत्यापन कीजिए।

यदि फलन f(x) = ${\begin{array}{l} \frac{\sin x}{x} + \cos x, & यदि x \neq 0 \\ k, & यदि x = 0 \end{array}$ बिंदु x = 0 पर f संतत है, तो k का मान है।

उन बिंदुओं की संख्या जिन पर फलन f(x) = $\frac{1}{x - [x]}$ संतत नहीं है,

मान लीजिए कि f(x)= |cosx| है।जब,

x के सापेक्ष sec (tan^–1x) का अवकल गुणांक है

x के सापेक्ष log₁₀ का अवकलज ______ है।

यदि y = $\sec^{- 1} (\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x + 1}}) + \sin^{- 1} (\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1})$ है, तो $\frac{dy}{dx}$ = ______ है।

x = a पर f (x) संततता के लिए? $lim_{x \to a^{+}} f (x)$ और $lim_{x \to a^{-}} f (x)$ में से प्रत्येक f (a) के बराबर होता है।

y = |x – 1| एक संतत फलन है।

x = 2 पर (x) = ${\begin{array}{l} \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x - 2}, & यदि x \neq 2 \\ 5, & यदिf x = 2 \end{array}$

x = 0 पर f(x) = ${\begin{array}{l} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{1}{x}}}, & यदि x \neq 0 \\ 0, & यदि x = 0 \end{array}$

एक फलन f: R → R सभी x, y ∈R, f (x) ≠ 0 के लिए समीकरण f (x +y)=f (x) f (y) को संतुष्ट करता है। मान लीजिए कि यह फलन x = 0 पर अवकलनीय है तथा f ′ (0) = 2 है। सिद्ध कीजिए कि f ′(x) = 2 f (x) है।

$2^{\cos^{2_{x}}}$

$\sin^{- 1} \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

$\sec^{- 1} (\frac{1}{4 x^{3} - 3 x}), 0 < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$

x = $t + \frac{1}{t}$ , y = $t - \frac{1}{t}$

x = $\frac{1 + \log t}{t^{2}}$ , y = $\frac{3 + 2 \log t}{t}$

यदि x = asin2t (1 + cos2t) और y = b cos2t (1–cos2t) तो दर्शाइए कि, x = $\frac{π}{4}$ पर; $(\frac{dy}{dx}) = \frac{b}{a}$

tan^–1x के सापेक्ष $\tan^{- 1} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}} - 1}{x})$ को अवकलित कीजिए, जब x ≠ 0.

sec(x + y) = xy

यदि ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0, तो दर्शाइए कि $\frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dy}$ = 1

यदि y = ${(\cos x)}^{{(\cos x)}^{(\cos x) ... . \infty}}$ तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2} \tan x}{y \log \cos x - 1}$

यदि $\sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{1 - y^{2}} = a (x - y)$ तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{1 - y^{2}}{1 - x^{2}}}$

[0, 1] में f(x) = x³ – 2x² – x + 3

माध्य मान प्रमेय का प्रयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि वक्र y = 2x² – 5x + 3 पर एक ऐसा बिंदु है जो A(1, 0) और B (2, 1) बिंदुओं के बीच स्थित है तथा उस पर खींची गयी स्पर्श रेखा जीवा AB के समांतर है। साथ ही, वह बिंदु भी ज्ञात कीजिए।

यदि y = $\log (\frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}})$ है, तो $\frac{dy}{dx}$ बराबर है।

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