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प्रश्न
x = `"t" + 1/"t"`, y = `"t" - 1/"t"`
उत्तर
मान लें कि,
x = `"t" + 1/"t"`, y = `"t" - 1/"t"`
दिए गए दोनों प्राचलिक फलनों को अलग करना w.r.t. t
`"dx"/"dt" = 1 - 1/"t"^2`, `"dy"/"dt" = 1 + 1/"t"^2`
∴ `"dy"/"dx" = (("dy")/("dt"))/(("dx")/("dt"))`
= `(1 + 1/"t"^2)/(1 - 1/"t"^2)`
= `("t"^2 + 1)/("t"^2 - 1)`
इसलिए, `"dy"/"dx" = ("t"^2 + 1)/("t"^2 - 1)`.
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x = 0 पर f(x) = `{{:((sqrt(1 + "k"x) - sqrt(1 - "k"x))/x",", "यदि" -1 ≤ x < 0),((2x + 1)/(x - 1)",", "यदि" 0 ≤ x ≤ 1):}`
सिद्ध कीजिए कि f(x) = `{{:(x/(|x| + 2x^2)",", x ≠ 0),("k", x = 0):}` से परिभाषित फलन f बिंदु x = 0 पर असंतत रहता है, चाहे k का कोई भी मान लिया जाए।
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बिंदु x = 4 पर संतत है।
यदि x = 3sint – sin 3t और y = 3cost – cos 3t तो t = `pi/3` पर `"dy"/"dx"` ज्ञात कीजिए।
tan–1x के सापेक्ष `tan^-1 ((sqrt(1 + x^2) - 1)/x)` को अवकलित कीजिए, जब x ≠ 0.
यदि x = `"e"^(x/y)` तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (x - y)/(xlogx)`
यदि yx = ey – x तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (1 + log y)^2/logy`
[–1, 1] में f(x) = log(x2 + 2) – log3
[– 2, 2] में f(x) = `sqrt(4 - x^2)`
[0, 2π] में वक् y = (cosx – 1) पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर है।
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यदि x = sint और y = sin pt है तो सिद्ध कीजिए कि `(1 - x^2) ("d"^2"y")/("dx"^2) - x "dy"/"dx" + "p"^2y` = 0 है।
फलन f(x) = cot x निम्नलिखित समुच्चय पर असंतत है।
यदि x = t2 और y = t3 है, तो `("d"^2"y")/("dx"^2)` है।
त्रिकोणमितीय एवं त्रिकोणमितीय व्युत्क्रम फलन अपने-अपने प्राँतों में अवकलनीय होते हैं।
